Question

在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，E是线段BC的中点，D在边AC上，线段BD和AE交于点F．
（1）如图1，AD=CD时，求

AE

AF

的值；
（2）如图2，

AD

AC

=

1

4

时，求∠BFE的正切值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,勾股定理

专题：常规题型

分析：（1）根据题意可以求得EF：AF的值，即可解题；
（2）作DG∥BC，EP⊥BD于P，可分别求得PF．PE的值，即可计算∠BFE的正切值．

解答：解：（1）∵AD=CD，
∴D是AC的中点，

∴DE是△ACB的中位线，

DE

AB

=

1

2

，
∴

EF

AF

=

DE

AB

=

1

2

，
∴

AE

AF

=

3

2

；
（2）作DG∥BC，EP⊥BD于P，

∵DG∥BC，
∴

DG

EC

=

AD

AC

=

1

4

，
∴

DG

BE

=

1

4

=

DF

BF

，
设AC=BC=4，则CD=3，
∴BD=

BC2+CD2

=5，
∴BF=

4

5

BD=4，
∵EP⊥BD，∴△BPE∽△BCD，
∴

BP

BE

=

BC

DB

=

4

5

，
∵BE=2，
∴BP=

8

5

，PE=

6

5

，
∴PF=BF-BP=4-

8

5

=

12

5

，
∴在RT△PEF中，tan∠BFE=

PE

PF

=

6 5

12 5

=

1

2

．

点评：本题考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形对应边比值相等的性质．