Question

【题目】在一张长方形纸片ABCD中，AB=25cm，AD=20cm，现将这张纸片按下列图示方法折叠，请解决下列问题．

（1）如图（1），折痕为DE，点A的对应点F在CD上，求折痕DE的长；

（2）如图（2），H，G分别为BC，AD的中点，A的对应点F在HG上，折痕为DE，求重叠部分的面积；

（3）如图（3），在图（2）中，把长方形ABCD沿着HG对开，变成两张长方形纸片，按图示方式将两张纸片任意叠合后，判断重叠四边形的形状，并证明；

（4）在（3）中，重叠四边形的周长是否存在最大值或最小值？如果存在，试求出来；如果不存在，试简要说明理由.

Answer 1

【答案】（1）20cm；（2）；（3）重叠四边形MNPQ的形状是菱形，证明见解析；（4）菱形的最大周长为58cm．

【解析】

（1）根据图形折叠的性质可知AD=AE=20cm，再根据勾股定理即可得出结论；
（2）由折叠的性质可得到DG=AD=DE，再根据直角三角形的性质得出∠EDA=30°，由锐角三角函数的定义得到AE的长，利用三角形的面积公式即可得出结论；
（3）根据平行四边形的判定首先证得四边形MNPQ是平行四边形，因为两条矩形的宽度相等，然后根据平行四边形MNPQ的面积公式即可证得四边形的邻边相等，进而证得四边形是菱形；
（4）当矩形纸片互相垂直时，这个菱形的周长最短，最小值是40cm，如图2所示放置时，重叠部分的菱形面积最大，设GK=x，则HK=25-x，利用勾股定理即可求出x的值，进而可得出菱形的周长．

（1）∵四边形ADFE是正方形，

∴DE===20（cm）

（2）∵由折叠可知DG=AD=DF，

∴在Rt△DGF中，∠GFD=30°，∠GDF=60°，

∵∠GDE=∠EDF，

∴∠EDA=30°．

∴在Rt△ADE中，AE=AD

∴由勾股定理得AE==．

∴S△DEF=AEAD=×20×=．

（3）重叠四边形MNPQ的形状是菱形；如图1，

证明：因纸片都是矩形，则重叠四边形的对边互相平行，则四边形MNPQ是平行四边形．

如图1，过Q作QL⊥NP于点L，QK⊥NM于点K，

又∵QL=QK，

∴SMNPQ=PNQL=MNQK．

∴MN=NP，

∴四边形MNPQ的形状是菱形．

（4）当矩形纸片互相垂直时，这个菱形的周长最短是40cm．最大的菱形如图2所示放置时，重叠部分的菱形面积最大．

设GK=x，则HK=25﹣x．

在Rt△KHB中，x2=（25﹣x）2+102，

解得x=14.5．

则菱形的最大周长为58 cm．