Question

【题目】已知，如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=1,BC=，对角线AC，BD交于O点，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F．

（1）求证：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；

（2）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．

Answer 1

【答案】（1）见解析 （2）见解析

【解析】

（1）根据∠BAC＝∠AOF＝90°推出AB∥EF，根据平行四边形性质得出AF∥BE，即可推出四边形ABEF是平行四边形；

（2）证△DFO≌△BEO，推出OF＝OE，得出四边形BEDF是平行四边形，根据勾股定理求出AC，求出OA＝AB＝1，求出∠AOB＝45°，根据∠AOF＝45°，推出EF⊥BD，根据菱形的判定推出即可．

（1）证明：∵∠AOF＝90°，∠BAO＝90°，

∴AB∥EF，

又∵平行四边形ABCD，

∴AF∥EB，

∴四边形ABEF是平行四边形；

（2）当旋转角∠AOF＝45°时，四边形BEDF是菱形，理由如下：

∵平行四边形ABCD，

∴AD∥BC，BO＝DO，

∴∠FDO＝∠EBO，∠DFO＝∠BEO，

在△DFO和△BEO中

∵，

∴△DFO≌△BEO（AAS），

∴OF＝OE，

∴四边形BEDF是平行四边形，

∵AB＝1，BC＝，

∴在Rt△BAC中，由勾股定理得：AC＝2，

∴AO＝1＝AB，

∴∠AOB＝45°，

又∵∠AOF＝45°，

∴∠BOF＝90°，

∴BD⊥EF，

∴四边形BEDF是菱形，

即在旋转过程中，四边形BEDF能是菱形，此时AC绕点O顺时针旋转的度数是45°．