Question

如图1，点O在线段AB上，AO=2，OB=1，OC为射线，且∠BOC=60°，动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动，设运动时间为t秒.

（1）当t=秒时，则OP=      ，S_△ABP=            ；

（2）当△ABP是直角三角形时，求t的值；

（3）如图2，当AP=AB时，过点A作AQ∥BP，并使得∠QOP=∠B，求证：AQ·BP=3.为了证明AQ·BP=3，小华同学尝试过O点作OE∥AP交BP于点E.试利用小华同学给我们的启发补全图形并证明AQ·BP=3．

		28题图2
		28题备用图
	28题图1

Answer 1

.解：（1）1，；…………………………………… 2分

（2）①∵∠A<∠BOC=60°，

∴∠A不可能是直角.

②当∠ABP=90°时，

∵∠BOC=60°，

∴∠OPB=30°.

∴OP=2OB，即2t=2.

∴t=1. …………………………………… 3分

③当∠APB=90°，如图，过点P作PD⊥AB于点D，则OP=2t，OD=t，PD=，AD=，DB=.

∵∠APD+∠BPD=90°，∠B+∠BPD=90°，∴∠APD=∠B. ∴△APD∽△PBD.

∴，即，即，解得（舍去）.

…………………………………… 4分

（3）补全图形，如图

∵AP=AB，

∴∠APB=∠B.

∵OE∥AP

∴∠OEB=∠APB=∠B.

∵AQ∥BP，

∴∠QAB+∠B=180°.

又∵∠3+∠OEB=180°，

∴∠3=∠QAB.

又∵∠AOC=∠2+∠B=∠1+∠QOP，

∵∠B=∠QOP，

∴∠1=∠2.

∴△QAO∽△OEP.

∴，即AQ·EP=EO·AO.

∵OE∥AP，

∴△OBE∽△ABP.

∴.

∴OE=AP=1，BP=EP.

∴AQ·BP=AQ·EP=AO·OE=×2×1=3. …………………………………… 6分