Question

【题目】（1）问题探究：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．

①求证：△CDA≌△CEB；

②求∠AEB的度数．

（2）问题变式：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．

①请求出∠AEB的度数

②直接写出线段AE、CM、BE之间的数量关系，不必说明理由．

Answer 1

【答案】（1）①证明见解析；②60°；（2）①90°；②AE= BE+2CM

【解析】

（1）①根据等边三角形的性质得到CA=CB=AB，CD=CE=DE，∠ACB=∠DCE=60°，利用SAS定理证明△CDA≌△CEB；

②根据全等三角形的性质得到∠CEB=∠ADC=120°，结合图形计算即可；

（2）①根据等腰直角三角形的性质得到CA=CB，CD=CE，∠ACD=∠BCE，利用SAS定理证明△CDA≌△CEB，利用全等三角形的性质计算即可；

②根据全等三角形的性质得到BE=AD，根据直角三角形的性质得到DE=2CM，结合图形解答．

（1）①证明：∵△ACB和△DCE均为等边三角形，

∴CA=CB=AB，CD=CE=DE，∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACB﹣∠DCB=∠DCE﹣∠DCB，即∠ACD=∠BCE，

在△CDA和△CEB中，

，

∴△CDA≌△CEB；

②解：∵∠CDE=60°，

∴∠ADC=120°，

∵△CDA≌△CEB，

∴∠CEB=∠ADC=120°，

∴∠AEB=120°﹣60°=60°；

（2）①∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，

∴CA=CB，CD=CE，∠ACB﹣∠DCB=∠DCE﹣DCB，即∠ACD=∠BCE，

在△CDA和△CEB中，

，

∴△CDA≌△CEB，

∴∠CEB=∠ADC=135°，

∴∠AEB=135°﹣45°=90°；

②解：∵△CDA≌△CEB，

∴BE=AD，

∵CD=CE，CM⊥DE，

∴DM=ME，又∠DCE=90°，

∴DE=2CM，

∴AE=AD+DE=BE+2CM．