【题目】类比等腰三角形的定义,我们定义:有一组邻边相等的凸四边形叫做等邻边四边形.
(1)如图1,四边形ABCD中,AC平分∠BAD,∠B=∠D.求证:四边形ABCD为等邻边四边形.
(2)如图2,Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=2,BC=1,将△ABC沿∠ABC的平分线BB′的方向平移,得到△A′B′C′,连接AA′、BC′,若平移后的四边形ABC′A′是等邻边四边形,且满足BC′=AB,求平移的距离.
(3)如图3,在等邻边四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD+∠BCD=90°,AC和BD为四边形对角线,△BCD为等边三角形,试探究AC和AB的数量关系.
【答案】(1)证明见解析;(2)平移的距离是;(3)AC=
AB,理由见解析.
【解析】(1)∵∠BAC=∠DAC ,∠B=∠D,AC=AC
∴△ABC≌△ADC
∴AB=AD
∴四边形ABCD是等邻边四边形.---------------------3’
(2)如图,延长C’B’交AB于点D ,
∵△A’B’C’由△ABC平移得到
∴A’B’∥AB,∠ A’B’C’=∠ABC=90°,C’B’=CB=1
∴B’D⊥AB
∵BB’平分∠ABC,
∴∠B’BD=45°,即B’D=BD。
设B’D=BD=,∴C’D=1+
,
∵BC’=AB=2,
∴Rt△BDC’中,,
解得=
,
(不合题意,舍去)
∴等腰Rt △BB’D中,BB’==
(3)AC=AB。
理由:如图,过A作AE⊥AB,且AE=AB,连接ED,EB
∵AE⊥AB
∴∠EAD+∠BAD=90°
又∵∠BAD+∠BCD=90°,△BCD为等边三角形
∴∠EAD=∠DCB=60°,
∵AE=AB,AB=AD ∴AE=AD
∴△AED为等边三角形,
∴AD=ED,∠EDA=∠BDC=60°
∴∠BDE=∠CDA,∵ED=AD,BD=CD
∴△BDE≌△CDA
∴AC=BE
∵AE=BE,∠BAE=90°, ∴BE=AB,
∴AC=AB
科目:初中数学 来源: 题型:
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