Question

如图，双曲线y=与直线y=x+1交于A、B两点，A点在B点的右侧．

（1）求A、B点的坐标；

（2）点C是双曲线上一点，点D是x轴上一点，是否存在点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，写出求解过程和点D的坐标；若不存在，请说明理由．

　

Answer 1

【考点】反比例函数综合题．

【分析】（1）联立一次函数与反比例函数的解析式即可得出A、B两点的坐标；

（2）根据AB两点的坐标可求出线段AB的水平距离与竖直距离，再根据AB为平行四边形的边与对角线两种情况进行讨论即可．

【解答】解：（1）由消去y得，2x²+3x﹣9=0，

解得x₁=﹣3，x₂=，

点A的坐标为（，2），点B的坐标为（﹣3，﹣1）．

（2）∵A（，2），B（﹣3，﹣1），

∴线段AB的垂直距离为2﹣（﹣1）=3，水平距离为﹣（﹣3）=．

①令y=3，由y=得x=1，则1﹣=﹣，

∴点D的坐标（﹣，0）；

②令y=﹣3，由y=得x=﹣1，则﹣1+=，

∴点D的坐标（，0）；

③如图，线段AB的中点E的坐标为（﹣，），过点C作CF⊥x轴于点G，点E作EG⊥OF于x轴点G，

则EG=，

∵EG是△CDF的中位线

∴CF=2EG=1，即F点的纵坐标为1，

∴C（3，1），

∴F（3，0）．

∴DG=GF，即3+=﹣﹣x，解得x=﹣．

点D的坐标（﹣，0）．

综上所述，D点坐标为（﹣，0），（，0）或（﹣，0）．

【点评】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点、平行四边形的判定与性质等知识，在解答（2）时要注意进行分类讨论．