【题目】数学课堂探究性活动蔚然成风。张老师在课堂上设置一道习题:
(1)已知矩形ABCD和点P,当点P在BC上任一位置(如图1所示)时,探究PA2、PB2、PC2、PD2,之间的关系?直接写出结论,不必证明;
当P点在其它位置时,请同学们分组探究:
(2)当点P在矩形内部,如图2时,探究PA2、PB2、PC2、PD2之间的数量关系,请你把探究出的结论写出来,并给予证明。
(3)当点P在矩形外部,如图3时,继续探完PA2、PB2、PC2、PD2之间的数量关系,请你把探究出的结论直接写出来,不必证明。
【答案】(1)(2)(3)结论PA2+PC2=PB2+PD2,证明见解析
【解析】试题分析:(1)直接根据勾股定理即可得出结论;
(2)过点P作MN⊥AD于点M,交BC于点N,可在Rt△AMP,Rt△BNP,Rt△DMP和Rt△CNP分别用勾股定理表示出PA2,PC2,PB2,PD2,然后我们可得出PA2+PC2与PB2+PD2,我们不难得出四边形MNCD是矩形,于是,MD=NC,AM=BN,然后我们将等式右边的值进行比较发现PA2+PC2=PB2+PD2.如图(3)方法同(2),过点P作PQ⊥BC交AD,BC于O,易证.
试题解析:证明:(1)如图1中.在Rt△ABP中,AB2=AP2﹣BP2,Rt△PDC中,CD2=PD2﹣PC2.∵AB=CD,∴AP2﹣BP2=PD2﹣PC2,∴PA2+PC2=PB2+PD2;
(2)猜想:PA2+PC2=PB2+PD2.
如图2,过点P作MN⊥AD于点M,交BC于点N.
在矩形ABCD中,∵AD∥BC,MN⊥AD,∴MN⊥BC.在Rt△AMP中, PA2=PM2+MA2.在Rt△BNP中,PB2=PN2+BN2.在Rt△DMP中,PD2=DM2+PM2.在Rt△CNP中,PC2=PN2+NC2,∴PA2+PC2=PM2+MA2+PN2+NC2,PB2+PD2=PM2+DM2+BN2+PN2.∵MN⊥AD,MN⊥NC,DC⊥BC,∴四边形MNCD是矩形,∴MD=NC,同理AM=BN,∴PM2+MA2+PN2+NC2=PM2+DM2+BN2+PN2,即PA2+PC2=PB2+PD2.
(3)如图3,过点P作PQ⊥BC交AD,BC于O,Q.
∵在矩形ABCD中,AD∥BC,PQ⊥BC,∴PQ⊥AD.∵在Rt△AOP中,PA2=AO2+PO2.在Rt△PQB中,PB2=PQ2+QB2.在Rt△POD中,PD2=DO2+PO2.在Rt△CQP中,PC2=PQ2+QC2,∴PA2+PC2=PO2+OA2+PQ2+QC2,PB2+PD2=PQ2+QB2+DO2+PO2.∵PQ⊥AD,PQ⊥NC,DC⊥BC,∴四边形OQCD是矩形,∴OD=QC,同理AO=BQ,∴PA2+PC2=PB2+PD2.
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【题目】阅读下面的材料:
符号、p分别表示一种运算,它对一些数的运算结果如下:
(0)=-1, (1)=0 , (2)=1 , (-3)=-4, (-4)=-5,……
p(-1)=-2,p()=1,p()=, p(2)=4, p(-3)=-6,……
根据以上运算规律,完成下列问题:
(1)计算:(-5)×p()+2
(2)已知x为有理数,且(x)+ p()=2×(-4),求x的值。
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【题目】阅读材料,回答下列问题:
数轴是学习有理数的一种重要工具,任何有理数都可以用数轴上的点表示,这样能够运用数形结合的方法解决一些问题。例如,两个有理数在数轴上对应的点之间的距离可以用这两个数的差的绝对值表示;
在数轴上,有理数3与1对应的两点之间的距离为|31|=2;
在数轴上,有理数5与2对应的两点之间的距离为|5(2)|=7;
在数轴上,有理数2与3对应的两点之间的距离为|23|=5;
在数轴上,有理数8与5对应的两点之间的距离为|8(5)|=3;……
如图1,在数轴上有理数a对应的点为点A,有理数b对应的点为点B,A,B两点之间的距离表示为|ab|或|ba|,记为|AB|=|ab|=|ba|.
(1)数轴上有理数10与5对应的两点之间的距离等于___;数轴上有理数x与5对应的两点之间的距离用含x的式子表示为___;若数轴上有理数x与1对应的两点A,B之间的距离|AB|=2,则x等于___;
(2)如图2,点M,N,P是数轴上的三点,点M表示的数为4,点N表示的数为2,动点P表示的数为x.
①若点P在点M,N之间,则|x+2|+|x4|=___;若|x+2|+|x4|═10,则x=___;
②根据阅读材料及上述各题的解答方法,|x+2|+|x|+|x2|+|x4|的最小值等于___.
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【题目】出租车司机小王某天下午营运是在东西走向的大街上进行的,如果规定向东为正,向西为负,他这天下午行车里程(单位:千米)如下:
+15,-2,+5,-1,+10,-3,-2,+12,+4,-5,+6.
(1)将最后一名乘客送到目的地时,小王距下午出车时的出发点多远?
(2)若汽车耗油量为0.05升/千米,这天下午小王的汽车共耗油多少升?
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【题目】如图,已知B,C,E三点在同一条直线上,△ABC与△DCE都是等边三角形,其中线段BD交AC于点G,线段AE交CD于点F.求证:(1)△ACE≌△BCD;(2).
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【题目】如图,方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,在建立平面直角坐标系后,△ABC的顶点坐标为A(1,-4),B(5,-4),C(4,-1).
(1)在方格纸中画出△ABC;
(2)求出△ABC的面积;
(3)若把△ABC向上平移6个单位长度,再向左平移7个单位长度得到△A′B′C′,在图中画出△A′B′C′,并写出B′的坐标.
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【题目】如图,在平面直角坐标系内,已知点A(0,6),点B(8,0).动点P从A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动,同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P,Q移动的时间为t秒.
(1)求直线AB的解析式;
(2)当t为何值时,△APQ与△AOB相似,并求出此时点P的坐标.
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【题目】今年夏季山洪暴发,易发生滑坡,经过地质人员勘测,当坡角不超过时,可以确保山体不滑坡.某中学紧挨一座山体斜坡,如图所示,已知,斜坡长30米,坡角,为保证改造后的山体不滑坡,求至少是多少米?(精确到0.1米, )
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【题目】如图1,某超市从底楼到二楼有一自动扶梯,图2是侧面示意图.已知自动扶梯AB的长度是12.5米,MN是二楼楼顶,MN∥PQ,C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点,BC⊥MN,在自动扶梯底端A处测得C点的仰角∠CAQ为45°,坡角∠BAQ为37°,求二楼的层高BC(精确到0.1米).(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75 )
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