Question

9．如图，四边形ABCD为平行四边形，M，N两点分别从点D到点A、点B到点C运动，速度相同；E，F两点分别从点A到点B，点C到点D运动，速度相同．它们之间用橡皮筋连接．
（1）没有出发时，这两根橡皮筋有何关系？
（2）若同时出发，这两根橡皮筋还存在（1）中的结论吗？为什么？

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD为平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，即可判定；
（2）首先顺次连接EN、NF、FM、ME，证得四边形ENFM为平行四边形，则EF与MN相互平分．

解答 （1）解：没有出发时，这两条绳子相互平分．理由如下：
如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
即EF与MN相互平分；

（2）解：若同时出发，这两条绳子还有（1）中的结论．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C．
又∵M、N分别从D到A、从B到C，速度相同，E、F分别从A到B、从C到D，速度相同，
∴AE=CF，AM=CN，
∴在△AEM与△CFN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}\\{∠A=∠C}\\{AM=CN}\end{array}\right.$，
∴△AEM≌△CFN（SAS），
∴EM=FN．
同理可得：EN=MF，
∴四边形ENFM为平行四边形，
∴EF与MN相互平分．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．解答（2）题的关键是证得四边形ENFM为平行四边形．