Question

10．在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+6经过点A（6，0）、B（2，0），与y轴交于点C，点P（x，y）是抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过P作PM∥y轴交x轴于点M，若△AMP∽△COB，请求出点P的坐标；
（3）设⊙N过A、B、C三点，试在y轴上找一点D，使D到N点与A点的距离差最大，并请求出这个最大值．

Answer 1

分析 （1）把A（6，0）、B（2，0）分别代入解析式得到方程组，直接解答即可；
（2）设P点坐标为（x，$\frac{1}{2}$x²-4x+6），根据△AMP∽△COB，得到$\frac{MP}{OB}$=$\frac{AM}{CO}$，列方程求出x的值即可；
（3）可见D₁A-D₁N＞AN，当D、A、N三点共线时，AN最大．作FN⊥CB，垂足为F，NE⊥AB，垂足为E．根据垂径定理，F为BC中点．求出点N坐标，从而求出AN解析式，然后求出D点坐标，利用勾股定理求出AN即可．

解答 解：（1）把A（6，0）、B（2，0）分别代入解析式得，$\left\{\begin{array}{l}{36a+6b+6=0}\\{4a+2b+6=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
则函数的解析式是：y=$\frac{1}{2}$x²-4x+6．
（2）如图1，设P点坐标为（x，$\frac{1}{2}$x²-4x+6），
∵△AMP∽△COB，
∴$\frac{MP}{OB}$=$\frac{AM}{CO}$，
∴$\frac{-\frac{1}{2}{x}^{2}+4x-6}{2}$=$\frac{6-x}{6}$，
整理得，3x²-26x+48=0，
（x-6）（3x-8）=0
解得x₁=6（舍去），x₂=$\frac{8}{3}$．
当x=$\frac{8}{3}$时，y=-$\frac{10}{9}$，
可得P（$\frac{8}{3}$，-$\frac{10}{9}$）．
如图2，设P点坐标为（x，$\frac{1}{2}$x²-4x+6），
∵△AMP∽△COB，
∴$\frac{MP}{OB}$=$\frac{AM}{CO}$，
$\frac{\frac{1}{2}{x}^{2}-4x+6}{2}$=$\frac{6-x}{6}$，
整理得3x²-22x+24=0
（x-6）（3x-4）=0，
解得x₁=6（舍去），x₂=$\frac{4}{3}$．
当x=$\frac{4}{3}$时，y=$\frac{14}{9}$．
可得P（$\frac{4}{3}$，$\frac{14}{9}$）．
（3）如图3，可见，D₁A-D₁N＞AN，当D、A、N三点共线时，AN最大．
作FN⊥CB，垂足为F，NE⊥AB，垂足为E．根据垂径定理，F为BC中点．
易得，F坐标为（1，3）．设BC解析式为y=kx+b，
把（2，0），（0，6）分别代入解析式得，$\left\{\begin{array}{l}2k+b=0\\ b=6\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}k=-3\\ b=6\end{array}\right.$，
函数解析式为y=-3x+6．
∵FN和BC垂直，
∴FN的比例系数为$\frac{1}{3}$，
设FN的解析式为y=$\frac{1}{3}$x+c，
把F（1，3）代入y=$\frac{1}{3}$x+c得，c=$\frac{8}{3}$，
∴y=$\frac{1}{3}$x+$\frac{8}{3}$，
又∵E点坐标为（$\frac{2+6}{2}$，0），即（4，0），
当x=4时，y=$\frac{4}{3}$+$\frac{8}{3}$=4，
N（4，4），
设AN解析式为y=mx+n，
把A（6，0），N（4，4）分别代入解析式得，$\left\{\begin{array}{l}4m+n=4\\ 6m+n=0\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}m=-2\\ n=12\end{array}\right.$，
则函数AN解析式为y=-2x+12，
当x=0时，y=12，
D点坐标为（0，12），
AN=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查了二次函数综合题，待定系数法求函数解析式、函数图象交点的求法、相似三角形的性质等知识点有机结合在一起，是一道非常精彩的题目．（2）要进行分类讨论．