Question

已知，如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，等腰直角三角形BEF的斜边在AB上，点G是AF的中点，联结EG，CG，求证：EG⊥CG．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：作GH⊥AB，垂直是G，根据勾股定理证明EF=CH，然后证明△GEF≌△GCH，根据全等三角形的对应边相等即可证得∠EGF=∠CGH，进而证明垂直关系．

解答： 证明：作GH⊥AB，垂直是G．
则△AGH是等腰直角三角形，
∴AG=GH，
设AC=CB=a，BE=EF=b．
由勾股定理可得：AB=

2

a，BF=

2

b．
又∵点G是AF的中点，
∴GF=GH=AG=

2

2

（a-b）．
在直角△AGH中，AH=a-b，
∴CH=AC-AH=a-（a-b）=b，又EF=b，
∴GF=CH，∠GFE=135°，∠GHC=135°，
在△EGF和△GCH中，

GF=EF ∠EFE=∠GHC GF=GH

∴△GEF≌△GCH（SAS），
∴∠EGF=∠CGH，
∴∠EGC=∠EGF+∠FGC=∠CGH+∠FGC=90°，
∴EG⊥CG．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理，正确作出辅助线，构造全等的三角形是关键．