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【题目】直线EF分别平行四边形ABCDAB CD于点EF,将图形沿直线EF对折,点AD分别落在点、A'D'处,

(1) 如图1,当点A’与点C重合时,连接AF,求证:四边形AECF是菱形:

(2)若∠A=60°,AD=4 AB=8,

①如图2.当点A’与BC边的中点G重合时,求AE的长;

②如图3.当点A’落在BC边上任意点时,设点P为直线EF上的动点,请直接写出PC+PA’的最小值 ;

【答案】1)见解析;(2)①AE=;②

【解析】

(1)先证明四边形AECF是平行四边形,再由翻折得AF=CF,则四边形AFCE是菱形;
(2)①如图2中,作HABAB的延长线于H,首先求出GHBH,设AE=EG=x,在RtEGH中,根据构建方程即可解决问题;
②如图3中,连接ACEF,连接CHABAB的延长线于H,因为A关于直线EF对称,推出+C=A+C=AC,推出当点P重合时,P+PC的值最小,最小值=AC的长.

1)如图1,连接ACACEFO

∵四边形ABCD是矩形,

ADBC

∴∠OAE=OCF

在△OAE和△OCF中,

∴△OAE≌△OCF

AE=CF

AECF

∴四边形AFCE是平行四边形,

由翻折得AF=CF

∴四边形AFCE是菱形;

2)①如图2,作HABAB的延长线于H

RtGBH中,GB=2,∠GBH=60°

BH=,GH=

AE=EG=x

RtEGH中,

解得x=

AE=

②如图3,连接ACEF,连接CHABAB的延长线于H

A关于直线EF对称,

=A

+C=A+C=AC

当点P重合时,P+PC的值最小,最小值=AC的长,

RtBCH中,BC=4,∠CBH=60°

BH=2CH=

AH=10

RtACH中,AC=

P+PC的最小值为img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2020/07/22/03/1523d778/SYS202007220311032411941781_DA/SYS202007220311032411941781_DA.002.png" width="33" height="24" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />,

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