Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=7，点D是边CA延长线的一点，AE⊥BD，垂足为点E，AE的延长线交CA的平行线BF于点F，连结CE交AB于点G．

（1）当点E是BD的中点时，求tan∠AFB的值；

（2）CE•AF的值是否随线段AD长度的改变而变化？如果不变，求出CE•AF的值；如果变化，请说明理由；

（3）当△BGE和△BAF相似时，求线段AF的长．

　

Answer 1

【考点】相似形综合题；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理；正方形的判定与性质；圆的综合题；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值．

【专题】综合题．

【分析】（1）过点E作EH⊥CD于H，如图1，易证EH是△DBC的中位线及△AHE∽△EHD，设AH=x，运用相似三角形的性质可求出x，就可求出tan∠AFB的值；

（2）取AB的中点O，连接OC、OE，如图2，易证四点A、C、B、E共圆，根据圆周角定理可得∠BCE=∠BAF，根据圆内接四边形内角互补可得∠CBE+∠CAE=180°，由此可推出∠CBE=∠BFA，从而可得△BCE∽△FAB，即可得到CE•FA=BC•AB，只需求出AB就可解决问题；

（3）过点E作EH⊥CD于H，作EM⊥BC于M，如图3，易证四边形EMCH是矩形，由△BCE∽△FAB，△BGE与△FAB相似可得△BGE与△BCE相似，即可得到∠EBG=∠ECB．由点A、C、B、E共圆可得∠ECA=∠EBG，即可得到∠ECB=∠ECA，根据角平分线的性质可得EM=EH，即可得到矩形EMCH是正方形，则有CM=CH，易证EB=EA，根据HL可得Rt△BME∽Rt△AHE，则有BM=AH．设AH=x，根据CM=CH可求出x，由此可求出CE的长，再利用（2）中的结果就可求出AF的值．

【解答】解：（1）过点E作EH⊥CD于H，如图1，

则有∠EHA=∠EHD=90°．

∵∠BCD=90°，BE=DE，

∴CE=DE．

∴CH=DH，

∴EH=BC=．

设AH=x，则DH=CH=x+1．

∵AE⊥BD，

∴∠AEH+∠DEH=∠AED=90°．

∵∠AEH+∠EAH=90°，

∴∠EAH=∠DEH，

∴△AHE∽△EHD，

∴=，

∴EH²=AH•DH，

∴（）²=x（x+1），

解得x=（舍负），

∴tan∠EAH===．

∵BF∥CD，

∴∠AFB=∠EAH，

∴tan∠AFB=；

（2）CE•AF的值不变．

取AB的中点O，连接OC、OE，如图2，

∵∠BCA=∠BEA=90°，

∴OC=OA=OB=OE，

∴点A、C、B、E共圆，

∴∠BCE=∠BAF，∠CBE+∠CAE=180°．

∵BF∥CD，

∴∠BFA+∠CAE=180°，

∴∠CBE=∠BFA，

∴△BCE∽△FAB，

∴=，

∴CE•FA=BC•AB．

∵∠BCA=90°，BC=7，AC=1，

∴AB=5，

∴CE•FA=7×5=35；

（3）过点E作EH⊥CD于H，作EM⊥BC于M，如图3，

∴∠EMC=∠MCH=∠CHE=90°，

∴四边形EMCH是矩形．

∵△BCE∽△FAB，△BGE与△FAB相似，

∴△BGE与△BCE相似，

∴∠EBG=∠ECB．

∵点A、C、B、E共圆，

∴∠ECA=∠EBG，

∴∠ECB=∠ECA，

∴EM=EH，

∴矩形EMCH是正方形，

∴CM=CH．

∵∠ECB=∠ECA=∠BCA=45°，

∴∠EBA=∠EAB=45°，

∴EB=EA，

∴Rt△BME≌Rt△AHE（HL），

∴BM=AH．

设AH=x，则BM=x，CM=7﹣x，CH=1+x，

∴7﹣x=1+x，

∴x=3，

∴CH=4．

在Rt△CHE中，

cos∠ECH===，

∴CE=4．

由（2）可得CE•FA=35，

∴AF==．

【点评】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角函数的定义、特殊角的三角函数值、正方形的判定与性质等知识，综合性强，有一定的难度，证到△BCE∽△FAB是解决第（2）小题的关键，证出Rt△BME≌Rt△AHE是解决第（3）小题的关键．