Question

14．若直角坐标系内矩形OABC位于第一象限，A（6，0），C（0，4），直线l过点D（0，6）．
（1）若直线l将矩形OABC面积平分，求l解析式；
（2）若直线l将矩形OABC面积平分成2：1的两部分，求l解析式．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质可知经过对角线的交点的直线DK平分四边形OABC的面积，故经过交点和D点的直线的解析式即为l的解析式；
（2）分两种情况分别讨论，即可求得．

解答 解：（1）如图，设矩形的对角线的交点为K，则直线DK平分四边形OABC的面积，
∵A（6，0），C（0，4），
∴K（3，2），
设直线l的解析式为y=kx+b，
∵点D（0，6），
∴$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=2}\\{b=6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴l解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+6；
（2）①连接AD，
∵OD∥AB，
∴$\frac{CD}{AB}$=$\frac{CM}{BM}$，即$\frac{2}{4}$=$\frac{6-BM}{BM}$，
∴BM=4，
∴S_△ABM=$\frac{1}{2}$×4×4=8，
∵S_矩形=4×6=24，
∴S_△ABM=$\frac{1}{3}$S_矩形，
∴直线AD满足条件，
设直线AD的解析式为y=mx+6，
代入（6，0）得，0=6m+6，解得m=-1，
∴直线AD为y=-x+6；
②设直线DE把四边形OABC的面积分成1：2两部分，则梯形OEFC的面积=$\frac{1}{3}$×24=8，
设CF=x，由$\frac{CF}{OE}=\frac{DC}{DO}$，得到OE=3x，
∴$\frac{1}{2}$（x+3x）×4=8，
解得x=1，
∴F（1，4），
设直线DF的解析式为y=nx+6，
代入F点的坐标得，4=n+6，解得n=-2，
∴直线DF为y=-2x+6；
故直线l解析式为y=-x+6或y=-2x+6．

点评 本题考查了矩形的性质，一次函数的性质，平行线分相等成比例定理，待定系数法求一次函数的解析式，分类讨论思想的运用是解题的关键．