Question

如图，直角梯形OABC的腰OC在y轴的正半轴上，点A（5n，0）在x轴的负半轴上，OA：AB：OC=5：5：3．点D是线段OC上一点，且OD=BD．
（1）若直线y=kx+m（k≠0）过B、D两点，求k的值；
（2）在（1）的条件下，反比例函数y=

m

x

的图象经过点B，
①求证：反比例函数y=

m

x

的图象与直线AB必有两个不同的交点；
②设反比例函数y=

m

x

的图象与直线AB的另一个交点为E，已知点P（p，-n-1），Q（q，-n-2）在线段AB上，当点E落在点段PQ上时，求n的取值范围．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）根据OA：OC的关系，可得B点的纵坐标，根据勾股定理，可得B点的横坐标，根据OD=BD，可得D点的坐标，根据待定系数法，可得k值；
（2）①根据待定系数法，可得反比例函数解析式，直线AB的解析式，根据代入消元法，可得关于x的一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式，可得答案；
②根据解方程组，可得E点坐标，根据点E落在点段PQ上，可得关于n的方程，根据解方程，可得答案．

解答：解：（1）∵A（5n，0），OA：OC=5：3，点C在y轴的正半轴上，
∴C（0，-3n）．
∵BC∥OA，
∴B点的纵坐标是-3n，
过点B做BG⊥OA于G点，
则BG=-3n，设OG为x，在Rt△ABG中，由勾股定理，得
（-5n-x）²+（-3n）²=（-5n）²，解得x=-n，x=-9n（不符合题意要舍去），
B（-n，-3n）．
设OD=t，点D是线段OC上一点，且OD=BD，
∴t²=（-3n-t）²+（-n）²解得t=-

5

3

n，
∴D（0，-

5

3

t）．
直线y=kx+m（k≠0）过B、D两点，得

nk+b=-3n b=- 5 3 n

，解得k=-

4

3

；
（2）①由反比例函数y=

m

x

的图象经过点B，得
m═n（-3n）=-3n²，
反比例函数y=-

3n2

x

，
设AB的解析式为y=kx+b，图象经过点A，B，得

5nk+b=0 nk+b=-3n

，解得

k= 3 4 b=- 15 4 n

，
AB的解析式为y=

3

4

x-

15

4

n，
由y=-

3n2

x

和y=

3

4

x-

15

4

n消去y，并整理得3x²-15nx+12n²=0，
∵△=（-15n）²-4×3×12n²=9n²＞0，
∴反比例函数y=

m

x

的图象与直线AB必有两个不同的交点；
②联立y=-

3n2

x

和y=

3

4

x-

15

4

n，得

y=- 3n2 x y= 3 4 x- 15 4 n

，解得

x1=n y1=-3n

，

x2=4n y2=- 3 4 n

，
∴E（4n，-

3

4

n）．
当点E过点P时，-n-1=-

3

4

n，解得n=-4；
当点E过点Q时，-n-2=-

3

4

n，解得n=-8，
当点E落在点段PQ上时，n的取值范围是-8≤n≤-4．

点评：本题考查了反比例函数综合题，（1）利用了待定系数法求函数解析式；（2）利用了代入消元法解二元一次方程组，一元二次方程的根的判别式；（3）利用了解方程组，点E经过线段的端点得出不等式组．