Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若AB=30，AE=24，求AC的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）连接OC，由条件可得到∠OCA=∠EAC，可证明OC∥AE，可得到OC⊥DE，可证明DE是⊙O的切线；
（2）由条件可证明△AEC∽△ACB，可求得AC．

解答：（1）证明：如图，连接OC，

∵OA=OC，
∴∠BAC=∠OCA，
又∵AC平分∠EAB，
∴∠BAC=∠EAC，
∴∠OCA=∠EAC，
∴OC∥AE，且AE⊥DC
∴∠E=∠DCO=90°，
∴OC⊥CD，
∴CD为⊙O的切线；
（2）解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠BCA=∠E=90°，且∠EAC=∠CAB，
∴△EAC∽△CAB，
∴

AE

AC

=

AC

AB

，即

24

AC

=

AC

30

，
解得AC=12

5

．

点评：本题主要考查切线的判定及相似三角形的判定和性质，在证明切线时注意两种解题的思路，当有切点时，连接圆心和切点，证明垂直，当没有切点时，作垂直，证明距离等于半径，在解决有关线段的长度时，也可以利用相似三角形的对应边的比相等来求．