【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=4,点D是AC的中点,点F是边AB上一动点,沿DF所在直线把△ADF翻折到△A′DF的位置,若线段A′D交AB于点E,且△BA′E为直角三角形,则BF的长为_____.
【答案】6或
【解析】
由三角函数得出∠A=30°,由直角三角形的性质得出AB=2BC=8,由折叠的性质得出DA=DC=,FA′=FA,∠DA′F=∠A=30°,设BF=x,则AF=8﹣x,FA′=8﹣x,①当∠BEA′=90°时,由三角函数得出AE=3,得出EF=3﹣(8﹣x)=x﹣5,由直角三角形的性质得出方程,解方程即可;
②当∠BA'E=90°时,作FH⊥BA',交BA'的延长线于H,连接BD,证明Rt△BDA'≌Rt△BDC,得出BA′=BC=4,求出∠FA'H=60°,在Rt△BFH中,由勾股定理得出方程,解方程即可.
解:∵∠C=90°,AC=,BC=4,
∴tanA=,
∴∠A=30°,
∴AB=2BC=8,
∵点D是AC的中点,沿DF所在直线把△ADF翻折到△A′DF的位置,线段A′D交AB于点E,
∴DA=DC=,FA′=FA,∠DA′F=∠A=30°,
设BF=x,则AF=8﹣x,FA′=8﹣x,
①当∠BEA′=90°时,在Rt△ADE中,cosA=,
∴AE=×cos30°=3,
∴EF=3﹣(8﹣x)=x﹣5,
在Rt△A'FE中,∵∠FA'E=30°,
∴FA'=2FE,即8﹣x=2(x﹣5),
解得x=6,即BF=6;
②当∠BA'E=90°时,作FH⊥BA',交BA'的延长线于H,连接BD,如图所示:
在Rt△BDA'和△BDC中,,
∴Rt△BDA'≌Rt△BDC(HL),
∴BA′=BC=4,
∵∠BA'F=∠BA'E+∠FA'E=90°+30°=120°,
∴∠FA'H=60°,
在Rt△FHA'中,A′H=A′F=(8﹣x),FH=A′H=(8﹣x),
在Rt△BFH中,∵FH2+BH2=BF2,
∴(8﹣x)2+[(8﹣x)+4]2=x2,
解得:x=,即BF=.
综上所述,BF的长为6或.
故答案为:6或.
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【题目】“大美湿地,水韵盐城”.某校数学兴趣小组就“最想去的盐城市旅游景点”随机调查了本校部分学生,要求每位同学选择且只能选择一个最想去的景点,下面是根据调查结果进行数据整理后绘制出的不完整的统计图:
请根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)求被调查的学生总人数;
(2)补全条形统计图,并求扇形统计图中表示“最想去景点D”的扇形圆心角的度数;
(3)若该校共有800名学生,请估计“最想去景点B“的学生人数.
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【题目】6月1日是儿童节,为了迎接儿童节的到来,兰州某商场计划购进一批甲、乙两种玩具,已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元,用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同.
(1)求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元?
(2)商场计划购进甲、乙两种玩具共48件,其中甲种玩具的件数少于24件,并且商场决定此次进货的总资金不超过1000元,求商场共有几种进货方案?
(3)在(2)条件下,若每件甲种玩具售价30元,每件乙种玩具售价45元,请求出卖完这批玩具获利W(元)与甲种玩具进货量m(件)之间的函数关系式,并求出最大利润为多少?
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【题目】在矩形ABCD中,M为AD边上一点,MB平分∠AMC.
(1)如图1,求证:BC=MC;
(2)如图2,G为BM的中点,连接AG、DG,过点M作MN∥AB交DG于点E、交BC于点N.
①求证:AG⊥DG;
②当DGGE=13时,求BM的长.
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【题目】在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系.如图,在平面上取定一点O称为极点;从点O出发引一条射线Ox称为极轴;线段OP的长度称为极径.点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度(规定逆时针方向转动角度为正)来确定,即P(3,60°)或P(3,﹣300°)或P(3,420°)等,则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是( )
A. Q(3,240°) B. Q(3,﹣120°) C. Q(3,600°) D. Q(3,﹣500°)
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【题目】我们知道,如果一个矩形的宽与长之比为,那么这个矩形就称为黄金矩形.如图,已知A、B两点都在反比例函数y=(k>0)位于第一象限内的图像上,过A、B两点分别作坐标轴的垂线,垂足分别为C、D和E、F,设AC与BF交于点G,已知四边形OCAD和CEBG都是正方形.设FG、OC的中点分别为P、Q,连接PQ.给出以下结论:①四边形ADFG为黄金矩形;②四边形OCGF为黄金矩形;③四边形OQPF为黄金矩形.以上结论中,正确的是( )
A. ①B. ②C. ②③D. ①②③
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【题目】如图,抛物线C1与抛物线C2与x轴有相同的交点M,N(点M在点N的左侧),与x轴的交点分别为A,B,且点A的坐标为(0,﹣3),抛物线C2的解析式为y=mx2+4mx﹣12m(m>0).
(1)求M,N两点的坐标;
(2)在第三象限内的抛物线C1上是否存在一点P,使得△PAM的面积最大,若存在,求出△PAM的面积的最大值;若不存在,说明理由;
(3)设抛物线C2的顶点为点D,顺次连接A,D,B,N,若四边形ADBN是平行四边形,求m的值.
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【题目】随着天气的逐渐炎热(如图1),遮阳伞在我们的日常生活中随处可见.如图2所示,遮阳伞立柱OA垂直于地面,当将遮阳伞撑开至OD位置时,测得∠BOD=45°,当将遮阳伞撑开至OE位置时,测得∠BOE=60°,且此时遮阳伞边沿上升的竖直高度BC为30cm,求当遮阳伞撑开至OE位置时,伞下半径EC的长.(结果保留根号).
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