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【题目】如图,抛物线C1与抛物线C2x轴有相同的交点MN(点M在点N的左侧),与x轴的交点分别为AB,且点A的坐标为(0,﹣3),抛物线C2的解析式为ymx2+4mx12mm0).

1)求MN两点的坐标;

2)在第三象限内的抛物线C1上是否存在一点P,使得PAM的面积最大,若存在,求出PAM的面积的最大值;若不存在,说明理由;

3)设抛物线C2的顶点为点D,顺次连接ADBN,若四边形ADBN是平行四边形,求m的值.

【答案】1M(﹣60),N20),(2a=﹣3时,PAM的面积最大,面积的最大值是;(3

【解析】

1)令y0代入ymx2+4mx12m,即可求出MN两点的坐标;

2)利用点AMN的坐标即可求出抛物线C1的解析式,再求出直线MA的解析式,然后设P的横坐标为a,过点PPEy轴交MA于点E,所以PAM的面积为PEOM,列出PAM的面积与a的函数关系式,利用二次函数的性质即可求出PAM的面积最大值;

3)当ANDB时,求出m的值,此时只需要证明ANDB即可.

解:(1)令y0代入ymx2+4mx12m

0mx2+4mx12m

x2x=﹣6

N20),M(﹣60);

2)设抛物线C1的解析式为yax2)(x+6),

C0,﹣3)代入yax2)(x+6),

∴﹣3=﹣12a

∴抛物线的解析式为y

设直线AM的解析式为ykx+b

M(﹣60)和A0,﹣3)代入ykx+b

∴直线AM的解析式为y=﹣x3

P的坐标为(aa2+a3),其中﹣6a0

过点PPEy轴交MA于点E,如图1

==

a=﹣3时,PAM的面积最大,面积的最大值是

3)如图2,由(1)可知:N20),A0,﹣3),

∴由勾股定理可知:AN

求得直线AN的解析式为

∴令x0代入ymx2+4mx12m

y=﹣12m

B0,﹣12m),

由抛物线C2的解析式可知:D(﹣2,﹣16m),

若四边形ADBN是平行四边形,

ANBD

设直线DB的解析式为

∴﹣16m=﹣312m

B09),D(﹣212),

ANBD

时,四边形ADBN是平行四边形.

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