【题目】如图,抛物线C1与抛物线C2与x轴有相同的交点M,N(点M在点N的左侧),与x轴的交点分别为A,B,且点A的坐标为(0,﹣3),抛物线C2的解析式为y=mx2+4mx﹣12m(m>0).
(1)求M,N两点的坐标;
(2)在第三象限内的抛物线C1上是否存在一点P,使得△PAM的面积最大,若存在,求出△PAM的面积的最大值;若不存在,说明理由;
(3)设抛物线C2的顶点为点D,顺次连接A,D,B,N,若四边形ADBN是平行四边形,求m的值.
【答案】(1)M(﹣6,0),N(2,0),(2)a=﹣3时,△PAM的面积最大,面积的最大值是;(3)
【解析】
(1)令y=0代入y=mx2+4mx﹣12m,即可求出M、N两点的坐标;
(2)利用点A、M、N的坐标即可求出抛物线C1的解析式,再求出直线MA的解析式,然后设P的横坐标为a,过点P作PE∥y轴交MA于点E,所以△PAM的面积为PEOM,列出△PAM的面积与a的函数关系式,利用二次函数的性质即可求出△PAM的面积最大值;
(3)当AN∥DB时,求出m的值,此时只需要证明AN=DB即可.
解:(1)令y=0代入y=mx2+4mx﹣12m,
∴0=mx2+4mx﹣12m,
∴x=2或x=﹣6,
∴N(2,0),M(﹣6,0);
(2)设抛物线C1的解析式为y=a(x﹣2)(x+6),
把C(0,﹣3)代入y=a(x﹣2)(x+6),
∴﹣3=﹣12a,
∴,
∴抛物线的解析式为y=,
设直线AM的解析式为y=kx+b,
把M(﹣6,0)和A(0,﹣3)代入y=kx+b,
∴,
∴,
∴直线AM的解析式为y=﹣x﹣3,
设P的坐标为(a,a2+a﹣3),其中﹣6<a<0,
过点P作PE∥y轴交MA于点E,如图1,
∴,
∴=,
∴==,
∴a=﹣3时,△PAM的面积最大,面积的最大值是.
(3)如图2,由(1)可知:N(2,0),A(0,﹣3),
∴由勾股定理可知:AN=,
求得直线AN的解析式为,
∴令x=0代入y=mx2+4mx﹣12m,
∴y=﹣12m,
∴B(0,﹣12m),
由抛物线C2的解析式可知:D(﹣2,﹣16m),
若四边形ADBN是平行四边形,
∴AN∥BD,
设直线DB的解析式为,
∴﹣16m=﹣3﹣12m,
∴,
∴B(0,9),D(﹣2,12),
∴,
∴AN=BD,
∴时,四边形ADBN是平行四边形.
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【题目】在平行四边形ABCD中,以AB为边作等边△ABE,点E在CD上,以BC为边作等边△BCF,点F在AE上,点G在BA延长线上且FG=FB.
(1)若CD=6,AF=3,求△ABF的面积;
(2)求证:BE=AG+CE.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=4,点D是AC的中点,点F是边AB上一动点,沿DF所在直线把△ADF翻折到△A′DF的位置,若线段A′D交AB于点E,且△BA′E为直角三角形,则BF的长为_____.
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【题目】如图,在菱形ABCD中,已知∠BAD=120°,对角线BD长为12.
(1)求菱形ABCD的周长;
(2)动点P从点A出发,沿A→B的方向,以每秒1个单位的速度向点B运动;在点P出发的同时,动点Q从点D出发,沿D→C→B的方向,以每秒2个单位的速度向点B运动.设运动时间为t(s).
①当PQ恰好被BD平分时,试求t的值;
②连接AQ,试求:在整个运动过程中,当t取怎样的值时,△APQ恰好是一个直角三角形?
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【题目】图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图,可伸缩式灯臂AO长为40 cm,与水平面所形成的夹角∠OAM恒为75°(不受灯臂伸缩的影响).由光源0射出的光线沿灯罩形成光线OC,OB,与水平面所形成的夹角∠OCA,∠OBA分别为90°和30°.
(1)求该台灯照亮桌面的宽度BC.(不考虑其他因素,结果精确到1 cm,参考数据:sin75°≈0.97,cos75°≈0.26, ≈1.73)
(2)若灯臂最多可伸长至60 cm,不调整灯罩的角度,能否让台灯照亮桌面85 cm的宽度?
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【题目】港珠澳大桥是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程,位于中国广东省伶仃洋区域内,为珠江三角洲地区环线高速公路南环段,青州航道桥“中国结三地同心”主题的斜拉索塔如图(1)所示.某数学兴趣小组根据材料编制了如下数学问题,请你解答.
如图(2),BC,DE为主塔AB(主塔AB与桥面AC垂直)上的两条钢索,桥面上C、D两点间的距离为16m,主塔上A、E两点的距离为18.4m,已知BC与桥面AC的夹角为30°,DE与桥面AC的夹角为38°。求主塔AB的高.(结果精确到1米,参考数据:sin38°≈0.6,cos38°≈0.8,tan38°≈0.8,≈1.7)
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【题目】如图,正三角形ABC的边长是4,分别以点B,C为圆心,以r为半径作两条弧,设两弧与边BC围成的阴影部分面积为S,当 ≤<4时,S的取值范围是___.
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【题目】将正整数按如图所示的规律排列下去,若用有序数对(m,n)表示第m排,从左到右第n个数,如(3,2)表示正整数5,(4,3)表示正整数9,则(20,19)表示的正整数是_____.
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