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【题目】如图,在直角坐标平面中,O为原点,点A的坐标为(20,0),点B在第一象限内,BO=10,sin∠BOA=

(1)①在图中,求作△ABO的外接圆;(尺规作图,不写作法但需保留作图痕迹);②求点B的坐标与cos∠BAO的值;
(2)若A,O位置不变,将点B沿 轴正半轴方向平移使得△ABO为等腰三角形,请直接写出平移距离.

【答案】
(1)解:①如图所示:

②作BH⊥OA,垂足为H,

在Rt△OHB中,∵BO=10,sin∠BOA=

∴BH=6,

∴OH=8,∴点B的坐标为(8,6),

∵OA=20,OH=8,∴AH=12,

在Rt△AHB中,∵BH=6,

∴AB= =6

∴cos∠BAO= =


(2)解:①当BO=AB时,∵AO=20,∴OH=10,

∴点B沿x轴正半轴方向平移2个单位,

②当AO=AB′时,∵AO=20,∴AB′=20,

过B′作B′N⊥x轴,

∵点B的坐标为(8,6),

∴B′N=6,∴AN= =2

∴点B沿x轴正半轴方向平移(2 +12)个单位,

③当AO=OB″时,

∵AO=20,

∴OB″=20,

过B″作B″P⊥x轴.

∵B的坐标为(8,6),

∴B″P=6,

∴OP= =2

∴点B沿x轴正半轴方向平移(2 ﹣8)个单位,

综上所述当点B沿x轴正半轴方向平移2个单位、(2 +12)个单位,或(2 ﹣8)个单位时,△ABO为等腰三角形


【解析】(1)作出BO和AB的垂直平分线,两线交点就是外接圆圆心,以交点为圆心,交点到O的距离为半径画圆即可;
(2)作BH⊥OA,垂足为H首先根据sin∠BOA及BO=10计算出B点坐标,然后根据勾股定理求出AB长,可得cos∠BAO;
(3)分三种情况进行计算,①当BO=AB时,②当AO=AB′时,③当AO=OB″时,,因为点B是沿x轴正半轴方向平移,因此B点纵坐标不变,依次利用勾股定理求出其横坐标即可。

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