Question

【题目】已知OC是∠AOB内部的一条射线，M，N分别为OA，OC上的点，线段OM，ON同时分别以30°/s，10°/s的速度绕点O逆时针旋转，设旋转时间为t秒．

（1）如图①，若∠AOB＝120°，当OM、ON逆时针旋转到OM′、ON′处，

①若OM，ON旋转时间t为2时，则∠BON′+∠COM′＝　　　°；

②若OM′平分∠AOC，ON′平分∠BOC，求∠M′ON′的值；

（2）如图②，若∠AOB＝4∠BOC，OM，ON分别在∠AOC，∠BOC内部旋转时，请猜想∠COM与∠BON的数量关系，并说明理由．

（3）若∠AOC＝80°，OM，ON在旋转的过程中，当∠MON＝20°，t＝　　　．

Answer 1

【答案】（1）①40°；②∠M′ON′＝60°；（2）∠COM＝3∠BON，理由见解析；（3）3秒或5秒．

【解析】

（1）①先求出∠AOM′、CON′，再表示出∠BON′、∠COM′，然后相加并根据∠AOB=120°计算即可得解；

②先由角平分线求出∠AOM′=∠COM′=∠AOC，∠BON′=∠CON′=∠BOC，再求出∠COM′+∠CON′=∠AOB=×120°=60°，即∠M′ON′=60°；

（2）设旋转时间为t，表示出∠CON、∠AOM，然后列方程求解得到∠BON、∠COM的关系，再整理即可得解；

（3）设旋转时间为t，表示出∠CON、∠AOM，然后得到∠COM，再列方程求解得到∠MON的关系，整理即可得解．

解：（1）①∵线段OM、ON分别以30°/s、10°/s的速度绕点O逆时针旋转2s，

∴∠AOM′＝2×30°＝60°，∠CON′＝2×10°＝20°，

∴∠BON′＝∠BOC﹣20°，∠COM′＝∠AOC﹣60°，

∴∠BON′+∠COM′＝∠BOC﹣20°+∠AOC﹣60°＝∠AOB﹣80°，

∵∠AOB＝120°，

∴∠BON′+∠COM′＝120°﹣80°＝40°；

故答案为：40°；

②∵OM′平分∠AOC，ON′平分∠BOC，

∴∠AOM′＝∠COM′＝∠AOC，∠BON′＝∠CON′＝∠BOC，

∴∠COM′+∠CON′＝∠AOC+∠BOC＝∠AOB＝×120°＝60°，

即∠MON＝60°；

（2）∠COM＝3∠BON，理由如下：

设∠BOC＝X，则∠AOB＝4X，∠AOC＝3X，

∵旋转t秒后，∠AOM＝30t，∠CON＝10t

∴∠COM＝3X﹣30t＝3（X﹣10t），∠NOB＝X﹣10t

∴∠COM＝3∠BON；

（3）设旋转t秒后，∠AOM＝30t，∠CON＝10t，

∴∠COM＝80°﹣30t，∠NOC＝10t，

可得∠MON＝∠MOC+∠CON，

可得：|80°﹣30t+10t|＝20°，

解得：t＝3秒或t＝5秒，

故答案为：3秒或5秒．