【题目】定义:我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”.
性质:如果两个三角形是“友好三角形”,那么这两个三角形的面积相等.
理解:如图①,在△ABC中,CD是AB边上的中线,那么△ACD和△BCD是“友好三角形”,并且S△ACD=S△BCD.
应用:如图②,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E在AD上,点F在BC上,AE=BF,AF与BE交于点O.
(1)求证:△AOB和△AOE是“友好三角形”;
(2)连接OD,若△AOE和△DOE是“友好三角形”,求四边形CDOF的面积.
探究:在△ABC中,∠A=30°,AB=4,点D在线段AB上,连接CD,△ACD和△BCD是“友好三角形”,将△ACD沿CD所在直线翻折,得到△A′CD,若△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的,请直接写出△ABC的面积.
【答案】(1)见解析;(2)12;探究:2或2.
【解析】试题分析:(1)利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,得到四边形ABFE是平行四边形,然后根据平行四边形的性质证得OE=OB,即可证得△AOE和△AOB是友好三角形;
(2)△AOE和△DOE是“友好三角形”,即可得到E是AD的中点,则可以求得△ABE、△ABF的面积,根据S四边形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF即可求解.
探究:画出符合条件的两种情况:①求出四边形A′DCB是平行四边形,求出BC和A′D推出∠ACB=90°,根据三角形面积公式求出即可;②求出高CQ,求出△A′DC的面积.即可求出△ABC的面积.
试题解析:(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∵AE=BF,
∴四边形ABFE是平行四边形,
∴OE=OB,
∴△AOE和△AOB是友好三角形.
(2)∵△AOE和△DOE是友好三角形,
∴S△AOE=S△DOE,AE=ED=AD=3,
∵△AOB与△AOE是友好三角形,
∴S△AOB=S△AOE,
∵△AOE≌△FOB,
∴S△AOE=S△FOB,
∴S△AOD=S△ABF,
∴S四边形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF=4×6-2××4×3=12.
探究:
解:分为两种情况:①如图1,
∵S△ACD=S△BCD.
∴AD=BD=AB,
∵沿CD折叠A和A′重合,
∴AD=A′D=AB=×4=2,
∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的,
∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC,
∴DO=OB,A′O=CO,
∴四边形A′DCB是平行四边形,
∴BC=A′D=2,
过B作BM⊥AC于M,
∵AB=4,∠BAC=30°,
∴BM=AB=2=BC,
即C和M重合,
∴∠ACB=90°,
由勾股定理得:AC=,
∴△ABC的面积是×BC×AC=×2×2=2;
②如图2,
∵S△ACD=S△BCD.
∴AD=BD=AB,
∵沿CD折叠A和A′重合,
∴AD=A′D=AB=×4=2,
∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的,
∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC,
∴DO=OA′,BO=CO,
∴四边形A′BDC是平行四边形,
∴A′C=BD=2,
过C作CQ⊥A′D于Q,
∵A′C=2,∠DA′C=∠BAC=30°,
∴CQ=A′C=1,
∴S△ABC=2S△ADC=2S△A′DC=2××A′D×CQ=2××2×1=2;
即△ABC的面积是2或2.
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【题目】(1)计算:(15x3y+10x2y﹣5xy2)÷5xy
(2)计算:(3x+y)(x+2y)﹣3x(x+2y)
(3)先化简,再求值:(x+2)(x﹣2)﹣(x+1)2,其中x=.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=60°.把△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°后得到△AB′C′,若AB=4,则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分(阴影部分)的面积是 . (结果保留π).
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【题目】某校对九年级学生进行“综合素质”评价,评价的结果为A(优)、B(良好)、C(合格)、D(不合格)四个等级.现从中抽测了若干名学生的“综合素质”等级作为样本进行数据处理,并作出图所示的统计图,已知图中从左到右的四个长方形的高的比为:14:9:6:1,评价结果为D等级的有2人,请你回答以下问题: ①共抽测了人;②样本中B等级的频率是;
③如果要绘制扇形统计图,D等级在扇形统计图中所占的圆心角是度;
④该校九年级的毕业生共300人,假如“综合素质”等级为A或B的学生才能报考示范性高中,请你计算该校大约有名学生可以报考示范性高中.
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【题目】某中学对本校初2017届500名学生中中考参加体育加试测试情况进行调查,根据男生1000米及女生800米测试成绩整理,绘制成不完整的统计图,(图①,图②),请根据统计图提供的信息,回答下列问题:
(1)该校毕业生中男生有 人;扇形统计图中a= ;
(2)补全条形统计图;
(3)若500名学生中随机抽取一名学生,这名学生该项成绩在8分及8分以下的概率是多少?
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【题目】已知,在直角坐标系中,有A(0,3),B(2,1),C(﹣3,﹣3)三点.
(1)请在平面直角坐标系中描出各点,并画出三角形ABC;
(2)三角形ABC的面积是 ;(直接写出结果)
(3)设BC交y轴于点P,试求P点的坐标.
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【题目】如图,一次函数的图像与反比例函数 (为常数,且)的图像交于
两点.
(1)求反比例函数的表达式;
(2)在轴上找一点,使的值最小,求满足条件的点的坐标;
(3)在(2)的条件下求的面积.
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