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【题目】定义:我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做友好三角形”.

性质:如果两个三角形是友好三角形,那么这两个三角形的面积相等.

理解:如图①,在△ABC中,CDAB边上的中线,那么△ACD和△BCD友好三角形,并且SACD=SBCD

应用:如图②,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点EAD上,点FBC上,AE=BF,AFBE交于点O.

(1)求证:△AOB和△AOE友好三角形”;

(2)连接OD,若△AOE和△DOE友好三角形,求四边形CDOF的面积.

探究:在△ABC中,∠A=30°,AB=4,点D在线段AB上,连接CD,ACD和△BCD友好三角形,将△ACD沿CD所在直线翻折,得到△A′CD,若△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的,请直接写出△ABC的面积.

【答案】(1)见解析;(2)12;探究:22

【解析】试题分析:(1)利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,得到四边形ABFE是平行四边形,然后根据平行四边形的性质证得OE=OB,即可证得△AOE△AOB是友好三角形;

2△AOE△DOE友好三角形,即可得到EAD的中点,则可以求得△ABE△ABF的面积,根据S四边形CDOF=S矩形ABCD-2SABF即可求解.

探究:画出符合条件的两种情况:求出四边形A′DCB是平行四边形,求出BCA′D推出∠ACB=90°,根据三角形面积公式求出即可;求出高CQ,求出△A′DC的面积.即可求出△ABC的面积.

试题解析:(1四边形ABCD是矩形,

∴AD∥BC

∵AE=BF

四边形ABFE是平行四边形,

∴OE=OB

∴△AOE△AOB是友好三角形.

2∵△AOE△DOE是友好三角形,

∴SAOE=SDOEAE=ED=AD=3

∵△AOB△AOE是友好三角形,

∴SAOB=SAOE

∵△AOE≌△FOB

∴SAOE=SFOB

∴SAOD=SABF

∴S四边形CDOF=S矩形ABCD-2SABF=4×6-2××4×3=12

探究:

解:分为两种情况:如图1

∵SACD=SBCD

∴AD=BD=AB

沿CD折叠AA′重合,

∴AD=A′D=AB=×4=2

∵△A′CD△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的

∴SDOC=SABC=SBDC=SADC=SA′DC

∴DO=OBA′O=CO

四边形A′DCB是平行四边形,

∴BC=A′D=2

BBM⊥ACM

∵AB=4∠BAC=30°

∴BM=AB=2=BC

CM重合,

∴∠ACB=90°

由勾股定理得:AC=

∴△ABC的面积是×BC×AC=×2×2=2

如图2

∵SACD=SBCD

∴AD=BD=AB

沿CD折叠AA′重合,

∴AD=A′D=AB=×4=2

∵△A′CD△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的

∴SDOC=SABC=SBDC=SADC=SA′DC

∴DO=OA′BO=CO

四边形A′BDC是平行四边形,

∴A′C=BD=2

CCQ⊥A′DQ

∵A′C=2∠DA′C=∠BAC=30°

∴CQ=A′C=1

∴SABC=2SADC=2SA′DC=2××A′D×CQ=2××2×1=2

△ABC的面积是22

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