Question

14．如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y=x²+bx+c经过A，B两点，抛物线的顶点为D．
（1）求b，c的值；
（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下：
①求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积；
②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由∠ACB=90°，AC=BC，OA=1，OC=4，可得A（-1，0）、B（4，5），然后利用待定系数法即可求得b，c的值；
（2）由直线AB经过点A（-1，0），B（4，5），即可求得直线AB的解析式，又由二次函数y=x²-2x-3，设点E（t，t+1），则可得点F的坐标，则可求得EF的最大值，求得点E的坐标；
（3）①顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD，可求出点F的坐标（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$），点D的坐标为（1，-4）由S_{四边形EBFD}=S_△BEF+S_△DEF即可求得；
②过点E作a⊥EF交抛物线于点P，设点P（m，m²-2m-3），可得m²-2m-3=$\frac{5}{2}$，即可求得点P的坐标，又由过点F作b⊥EF交抛物线于P₃，设P₃（n，n²-2n-3），可得n²-2n-2=-$\frac{15}{4}$，求得点P的坐标，则可得使△EFP是以EF为直角边的直角三角形的P的坐标．

解答 解：（1）由已知得：A（-1，0），B（4，5），
∵二次函数y=x²+bx+c的图象经过点A（-1，0），B（4，5），
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{16+4b+c=5}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$；

如图：∵直线AB经过点A（-1，0），B（4，5），
∴直线AB的解析式为：y=x+1，
∵二次函数y=x²-2x-3，
∴设点E（t，t+1），则F（t，t²-2t-3），
∴EF=（t+1）-（t²-2t-3）=-（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{4}$，
∴当t=$\frac{3}{2}$时，EF的最大值为$\frac{25}{4}$，
∴点E的坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$）；

（3）①如图：顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD．

可求出点F的坐标（$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$），点D的坐标为（1，-4）
S_{四边形EBFD}=S_△BEF+S_△DEF=$\frac{1}{2}$×$\frac{25}{4}$×（4-$\frac{3}{2}$）+$\frac{1}{2}$×$\frac{25}{4}$×（$\frac{3}{2}$-1）=$\frac{75}{8}$；

②如图：

（ⅰ）过点E作a⊥EF交抛物线于点P，设点P（m，m²-2m-3）
则有：m²-2m-3=$\frac{5}{2}$，
解得：m₁=1+$\frac{\sqrt{26}}{2}$，m₂=1-$\frac{\sqrt{26}}{2}$，
∴P₁（1+$\frac{\sqrt{26}}{2}$，$\frac{5}{2}$），P₂（1-$\frac{\sqrt{26}}{2}$，$\frac{5}{2}$）；

（ⅱ）过点F作b⊥EF交抛物线于P₃，设P₃（n，n²-2n-3）
则有：n²-2n-3=-$\frac{15}{4}$，
解得：n₁=$\frac{1}{2}$，n₂=$\frac{3}{2}$（与点F重合，舍去），
∴P₃（$\frac{1}{2}$，-$\frac{15}{4}$），
综上所述：所有点P的坐标：P₁（1+$\frac{\sqrt{26}}{2}$，$\frac{5}{2}$），P₂（1-$\frac{\sqrt{26}}{2}$，$\frac{5}{2}$），P₃（$\frac{1}{2}$，-$\frac{15}{4}$）能使△EFP组成以EF为直角边的直角三角形．

点评 此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，四边形与三角形面积问题以及直角三角形的性质等知识．此题综合性很强，解题的关键是注意方程思想与数形结合思想的应用．