Question

【题目】阅读下面的材料，然后解答问题：

我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的k倍的三角形叫做“k倍三角形”(k为正实数)．

（1）理解：根据“k倍三角形”的定义填空(填“锐角”、“直角”或“钝角”)：

①当时，k倍三角形一定是_____________三角形；

②当时，k倍三角形一定是______________三角形．

（2）探究：当时，已知Rt△ABC为“k倍三角形”，且，，求所有满足条件的k值．

（3）拓展：若Rt△ABC是“k倍三角形”，且，，，.当时，求的值．

Answer 1

【答案】（1）①直角；②钝角；（2）3或2或5；（3）或．

【解析】

（1）设三角形三边分别为a、b、c，

①当时，可以得到，三边满足勾股定理即可判断三角形为直角三角形；

②当时，可以得到，可以判断三角形为钝角三角形；

（2）当时，Rt△ABC为“k倍三角形”，由，，利用勾股定理求出第三边，需要分情况讨论：当AB是斜边时；当AB是直角边时两种情况求解即可 ；

（3）若Rt△ABC是“k倍三角形”，根据题意可得三边关系式，结合勾股定理得到方程组，求解即可表示的值．

（1）设三角形三边分别为a、b、c，

①当时，可以得到，则三角形是直角三角形，

故答案为：直角；

②当时，可以得到，则三角形为钝角三角形，

故答案为：钝角；

（2）当时，已知Rt△ABC为“k倍三角形”，且，，分以下情况：

①当AB为斜边时，由，

∴，解得AC=，

由，

可得：4+2=2k，

解得：k=3；

②当AB为直角边时，由，

∴，解得AC=，

由或者，

可得：6+2=4k，或者4+6=2k，

解得:k=2或者k=5，

综上所述，满足条件的k值为3或2或5；

故答案为：3或2或5；

（3）在Rt△ABC中，，

又∵k=2，

∴或，

∴联立方程组得

或，

解得或，

∴或，

∴的值为：或，

故答案为：或．