Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE∥CA，CD=12，BD=15，求线段AE、BE的长．

Answer 1

考点：勾股定理,角平分线的性质,平行线分线段成比例

专题：

分析：利用已知条件易证AE=DE，因为DE∥AC，所以可得到BE和AE的关系，即BE和DE的关系，设AE=4x，根据勾股定理可得BE²=DE²+BD²，求出x的值，进而得到AE，BE的长．

解答：解：∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠DAE，
∵DE∥CA，
∴∠DAE=∠ADE，
∴AE=DE，
∵DE∥CA，
∴AE：BE=CD：BD=12：15=4：5，
设AE=4x
则DE=4x，BE=5x，
∵AC⊥BC，DE∥CA，
∴DE⊥BD，
由勾股定理得BE²=DE²+BD²，
所以25x²=16x²+225，
解得x=5，
∴AE=4×5=20，BE=5×5=25．

点评：本题考查了等腰三角形的判定和性质、平行线的性质以及勾股定理的运用，解题的关键是利用平行线分线段成比例定理得到AE和BE的数量关系．