Question

如图（1），在矩形ABCD中，把∠B、∠D分别翻折，使点B、D恰好落在对角线AC上的点E、F处，折痕分别为CM、AN，

（1）求证：△ADN≌△CBM；

（2）请连接MF、NE，证明四边形MFNE是平行四边形；四边形MFNE是菱形吗？请说明理由；

（3）点P、Q是矩形的边CD、AB上的两点，连接PQ、CQ、MN，如图（2）所示，若PQ=CQ，PQ∥MN，且AB=4cm，BC=3cm，求PC的长度．

 

 

Answer 1

（1）证明见解析；（2）是平行四边形，不是菱形，理由见解析；（3）2.

【解析】

试题分析：（1）根据折叠的性质得出∠DAN=∠NAC，∠BCM=∠ACM，从而根据AD∥BC可得出∠DAN=∠BCM，从而即可判断出△ADN≌△CBM．

（2）连接NE、MF，根据（1）的结论可得出NF=ME，再由∠NFE=∠MEF可判断出NF∥ME，在直角三角形NFE中，NE为斜边，NF为直角边，可判断四边形MFNE不是菱形．

（3）设AC与MN的交点为O，EF=x，作QG⊥PC于G点，首先求出AC=5，根据翻折变换知：AF=CE=3，于是可得AF+（CE-EF）=5，可得EF=1，在Rt△CFN中，NF=tan∠NCF•CF，在Rt△NFE中，NO2=NF2+OF2，求出NO的长，即NM=PQ=QC=2NO，PC=2

试题解析：（1）证明：由折叠的性质得出∠DAN=∠NAC，∠BCM=∠ACM，

∵AD∥BC，

∴∠DAC=∠BCA，

∴∠DAN=∠BCM，

在Rt△ADN和Rt△CBM中，

∵，

∴△ADN≌△CBM，

（2）【解析】
连接NE、MF，

∵△ADN≌△CBM，

∴NF=ME，

∵∠NFE=∠MEF，

∴NF∥ME，

∴四边形MFNE是平行四边形，

∵MN与EF不垂直，

∴四边形MFNE不是菱形；

（3）【解析】
设AC与MN的交点为O，EF=x，作QG⊥PC于G点，

∵AB=4，BC=3，

∴AC=5，

∵AF=CE=BC=3，

∴2AF-EF=AC，即6-x=5，

解得x=1，

∴EF=1，

∴CF=2，

在Rt△CFN中，tan∠DCA=，

解得NF=，

∵OE=OF=EF=，

∴在Rt△NFO中，ON2=OF2+NF2，

∴ON=，

∴MN=2ON=，

∵PQ∥MN，PN∥MQ，

∴四边形MQPN是平行四边形，

∴MN=PQ=，

∵PQ=CQ，

∴△PQC是等腰三角形，

∴PG=CG，

在Rt△QPG中，

PG2=PQ2-QG2，即PG==1，

∴PC=2PG=2．

考点：1.翻折变换（折叠问题）；2.全等三角形的判定与性质；3.平行四边形的判定；4.菱形的判定．