Question

6．已知二次函数y=-x²-x+2的图象和x 轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线OE过点Q（$-\frac{1}{2}$，$-\frac{1}{4}$）且与抛物线交于点E，直线OE上方的抛物线上一动点P．
（1）求直线OE的解析式；
（2）求△POQ面积的最大值；
（3）如图2，当△POQ面积最大时，在直线OE上有一动点K，连接PK，求PK+$\frac{\sqrt{5}}{5}$EK的最小值及此时点K的坐标．

Answer 1

分析 （1）直线OE经过原点，设OE的解析式为y=kx．然后将点Q的坐标代入求解即可；
（2）过点P作PF⊥轴，垂足为F，PD交OE与点D，过点Q作QG⊥PD，垂足为G．设点P的坐标为（a，-a²-a+2），则D（a，$\frac{1}{2}$a）．PD=-a²-$\frac{3}{2}$a+2，然后依据△POQ的面积=△PDO的面积-△PQD的面积，列出△POQ的面积与a的函数关系式，然后利用二次函数的性质求解即可；
（3）过点E作ED⊥y轴，垂足为D，过点K作KM⊥ED垂足为M．先求得点P的坐标，然后将y=$\frac{1}{2}$x与y=-x²-x+2联立，求得点E的坐标，由OE的解析式可得到sin∠OED=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，故此可得到KM=$\frac{\sqrt{5}}{5}$EK，当P、K、M在一条直线上时，PK+$\frac{\sqrt{5}}{5}$EK有最小值，最小值=PM的长，由点P的坐标可得到点K的横坐标，然后由点K在OE上可求得K的纵坐标．

解答 解：（1）设直线OE的解析式为y=kx．
∵直线OE过点Q（$-\frac{1}{2}$，$-\frac{1}{4}$），
∴-$\frac{1}{2}$k=-$\frac{1}{4}$，解得k=$\frac{1}{2}$．
∴直线OE的解析式为y=$\frac{1}{2}$x．
（2）如图所示：过点P作PF⊥轴，垂足为F，PD交OE与点D，过点Q作QG⊥PD，垂足为G．

设点P的坐标为（a，-a²-a+2），则D（a，$\frac{1}{2}$a）．
∴PD=-a²-$\frac{3}{2}$a+2．
∵△POQ的面积=△PDO的面积-△PQD的面积，
∴△POQ的面积=$\frac{1}{2}$OF•PD-$\frac{1}{2}$PD•QG=-$\frac{1}{4}$a²-$\frac{3}{8}$a+$\frac{1}{2}$．
∴当a=-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{3}{4}$时，△POQ的面积最大，最大面积=$\frac{41}{64}$．
（3）如图2所示：过点E作ED⊥y轴，垂足为D，过点K作KM⊥ED垂足为M．

将x=-$\frac{3}{4}$代入抛物线的解析式得：y=$\frac{35}{16}$．
∴点P（-$\frac{3}{4}$，$\frac{35}{16}$）．
将y=$\frac{1}{2}$x与y=-x²-x+2联立，解得：x=$\frac{-3+\sqrt{41}}{4}$，x=$\frac{-3-\sqrt{41}}{4}$．
将x=$\frac{-3-\sqrt{41}}{4}$代入y=$\frac{1}{2}$x得：y=$\frac{-3-\sqrt{41}}{8}$．
∴点E的坐标为（$\frac{-3-\sqrt{41}}{4}$，$\frac{-3-\sqrt{41}}{8}$）．
∵点E在y=$\frac{1}{2}$x上，
∴tan∠OED=$\frac{1}{2}$．
∴sinOED=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴KM=$\frac{\sqrt{5}}{5}$EK．
∴PK+$\frac{\sqrt{5}}{5}$EK=PK+KM．
∴当P、K、M在一条直线上时，PK+$\frac{\sqrt{5}}{5}$EK有最小值，最小值=$\frac{35}{16}$-$\frac{-3-\sqrt{41}}{8}$=$\frac{41+2\sqrt{41}}{16}$．
将x=-$\frac{3}{4}$，代入y=$\frac{1}{2}$x得：y=-$\frac{3}{8}$．
∴点K的坐标为（-$\frac{3}{4}$，-$\frac{3}{8}$）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求正比例函数的解析式、二次函数的性质、垂线段最短的性质，锐角三角函数的定义，列出△POQ的面积与a的函数关系式是解答问题（2）的关键，将PK+$\frac{\sqrt{5}}{5}$EK转化为PK+KM是解答问题（3）的关键．