Question

【题目】综合与探究

如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0）、B两点，与y轴相交于点．当x＝﹣4和x＝2时，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数值y相等，连接AC，BC．

（1）求抛物线的解析式；

（2）判断△ABC的形状，并说明理由；

（3）若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，当运动时间为t秒时，连接MN，将△BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，则t的值为　 　，点P的坐标为　 　；

（4）抛物线对称轴上是否存在一点F，使得△ACF是以AC为直角边的直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点F的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）△ABC是直角三角形，理由见解析；（3），；（4）存在，F1，F2．

【解析】

（1）由对称性先求出点B的坐标，可设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x﹣1)，将C坐标代入y=a(x+3)(x﹣1)即可；

（2）先判断△ABC为直角三角形，分别求出AB，AC，BC的长，由勾股定理的逆定理可证明结论；

（3）因为点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，所以BM=BN=t，证四边形PMBN是菱形，设PM与y轴交于H，证△CPN∽△CAB，由相似三角形的性质可求出t的值，CH的长，可得出点P纵坐标，求出直线AC的解析式，将点P纵坐标代入即可；

（4）求出直线BC的解析式，如图2，当∠ACF=90°时，点B，C，F在一条直线上，求出直线BC与对称轴的交点即可；当∠CAF=90°时，求出直线AF的解析式，再求其与对称轴的交点即可．

（1）∵在抛物线y=ax2+bx+c中，当x=﹣4和x=2时，二次函数y=ax2+bx+c的函数值y相等，

∴抛物线的对称轴为x1，

又∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(﹣3，0)、B两点，

由对称性可知B(1，0)，

∴可设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x﹣1)，

将C(0，)代入y=a(x+3)(x﹣1)，

得：﹣3a，

解得：a，

∴此抛物线的解析式为y(x+3)(x﹣1)x2x；

（2）△ABC为直角三角形．理由如下：

∵A(﹣3，0)，B(1，0)，C(0，)，

∴OA=3，OB=1，OC，

∴AB=OA+OB=4，AC2，BC2．

∵AC2+BC2=16，AB2=16，

∴AC2+BC2=AB2，

∴△ABC是直角三角形；

（3）∵点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，

∴BM=BN=t，

由翻折知，△BMN≌△PMN，

∴BM=PM=BN=PN=t，

∴四边形PMBN是菱形，

∴PN∥AB，

∴△CPN∽△CAB，设PM与y轴交于H，

∴，

即，

解得：t，CH，

∴OH=OC﹣CH，

∴yP，

设直线AC的解析式为y=kx，

将点A(﹣3，0)代入y=kx，

得：k，

∴直线AC的解析式为yx，

将yP代入yx，

∴x=﹣1，

∴P(﹣1，)．

故答案为：，(﹣1，)；

（4）设直线BC的解析式为y=kx，

将点B(1，0)代入y=kx，

得：k，

∴直线BC的解析式为yx，

由（2）知△ABC为直角三角形，∠ACB=90°．

①如图2，当∠ACF=90°时，点B，C，F在一条直线上，

在yx中，当x=﹣1时，y=2，

∴F1(﹣1，2)；

②当∠CAF=90°时，AF∥BC，

∴可设直线AF的解析式为yx+n，

将点A(﹣3，0)代入yx+n，

得：n=﹣3，

∴直线AF的解析式为yx﹣3，

在yx﹣3中，当x=﹣1时，y=﹣2，

∴F2(﹣1，﹣2)．

综上所述：点F的坐标为F1(﹣1，2)，F2(﹣1，﹣2)．