Question

5．先阅读下列的解答过程，然后再解答：
阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两个根分别是x₁、x₂．那么x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．
例如：已知方程2x²+3x-5=0的两根分别为x₁、x₂
则：x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$=-$\frac{3}{2}$，x₁、x₂=$\frac{c}{a}$=$\frac{-5}{2}$=-$\frac{5}{2}$
请同学阅读后完成以下问题：
（1）已知方程3x²-4x-6=0的两根分别为x₁、x₂，求x₁+x₂和x₁x₂的值．
（2）已知方程3x²-4x-6=0的两根分别为x₁、x₂，求$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$的值．
（3）若一元二次方程2x²+mx-3=0的一根大于1，另一根小于1，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分别利用一元二次方程根与系数的关系求解即可．
（2）先把所求的代数式变形为含有x₁+x₂和x₁x₂的形式，然后利用根与系数的关系进行解答．
（3）依据题意可得△＞0及把x=1代入方程求解即可．

解答 解：（1）x₁+x₂=-（$\frac{-4}{3}$）=$\frac{4}{3}$，x₁x₂=$\frac{-6}{3}$=-2；

（2）$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$=$\frac{\frac{4}{3}}{-2}$=-$\frac{2}{3}$；

（3）由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}-4×2×（-3）＞0}\\{2+m-3＜0}\end{array}\right.$，解得m＜1．

点评 本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式．熟练掌握x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$中a、b、c所表示的意义是解题的关键．