Question

17．如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠EDA=30°，AD=6cm，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连结OD，如图，由AD平分∠CAM得∠1=∠2，加上∠2=∠3，则∠1=∠3，于是可判断OD∥MN，由于DE⊥MN，所以OD⊥DE，则可根据切线的判定定理得到DE是⊙O的切线．
（2）依题意得到△ACD∽△ADE．根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求得圆的半径．

解答 证明：（1）连结OD，如图，
∵AD平分∠CAM，
∴∠1=∠2，
∵OA=OD，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴OD∥MN，
∵DE⊥MN，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线．

（2）∵∠EDA=30°，AD=6cm，
∴AE=$\frac{1}{2}$AD=3cm．
连接CD．
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=∠AED=90°．
∵∠CAD=∠DAE，
∴△ACD∽△ADE．
∴$\frac{AD}{AE}$=$\frac{AC}{AD}$，即$\frac{6}{3}$=$\frac{AC}{6}$，
则AC=12（cm）．
∴⊙O的半径是6cm．

点评 本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，线段等量关系的证明及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．