Question

13．如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为边向外作正方形ACDE，BCFG．DE，FG，$\widehat{AC}$，$\widehat{BC}$的中点分别是M，N，P，Q．若MP+NQ=12，AC+BC=16，则AB的长为（　　）

• A． 9$\sqrt{2}$
• B． $\frac{90}{7}$
• C． 12
• D． 16

Answer 1

分析 连接OP，OQ，根据DE，FC，$\widehat{AC}$，$\widehat{BC}$的中点分别是M，N，P，Q得到OP⊥AC，OQ⊥BC，从而得到H、I是AC、BD的中点，利用中位线定理得到OH+OI=$\frac{1}{2}$（AC+BC）=8和PH+QI，从而利用AB=OP+OQ=OH+OI+PH+QI求解．

解答 解：连接OP，OQ，
∵DE，FG，$\widehat{AC}$，$\widehat{BC}$的中点分别是M，N，P，Q，
∴OP⊥AC，OQ⊥BC，
∴H、I是AC、BD的中点，
∴OH+OI=$\frac{1}{2}$（AC+BC）=8，
∵MH+NI=AC+BC=16，MP+NQ=12，
∴PH+QI=16-12=4，
∴AB=OP+OQ=OH+OI+PH+QI=8+4=12，
故选C．

点评 本题考查了中位线定理的应用，解题的关键是正确的作出辅助线，题目中还考查了垂径定理的知识，难度不大．