Question

【题目】如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB、CD于点E、F．

（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；

（2）当四边形DEBF是菱形时，求EF的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）

【解析】

（1）根据矩形的性质得到AB∥CD，由平行线的性质得到∠DFO=∠BEO，证明△DOF≌△BOE，根据全等三角形的性质得到DF=BE，于是证明四边形BEDF是平行四边形；

（2）根据四边形BEDF是菱形，得到DE=BE，EF⊥BD，OE=OF，设AE=x，则DE=BE=8-x根据勾股定理求出DE，BE，再求出BD，OD，最后根据勾股定理求出OE，EF，问题得解．

解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，

∴∠DFO=∠BEO，

∵∠DOF=∠BOE ，OD=OB，

∴△DOF≌△BOE，

∴DF=BE，

∵DF∥BE，

∴四边形BEDF是平行四边形；

（2）∵四边形DEBF是菱形

∴DE=BE，EF⊥BD，OE=OF，

设AE=x，则DE=BE=8-x，

在Rt△ADE中，根据勾股定理得，

解得，

∴DE=BE=，

在Rt△ABD中，BD=，

∴OD=，

在Rt△EOD中，OE=，

∴EF=2OE= ．