【题目】如图,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC于点E.若一个三角形模板与△ABE完全重合地叠放在一起,现将该模板绕 点E顺时针旋转.要使该模板旋转60°后,三个顶点仍在平行四边形ABCD的边上,请探究平行四边形ABCD的角和边需要满足的条件.
【答案】详见解析.
【解析】
三角形模板绕点E旋转60°后,E为旋转中心,位置不变,仍在边BC上,过点E分别做射线EM,EN,EM,EN分别AB,CD于F,G使得∠BEM=∠AEN=60°,可证△BEF为等边三角形,即EB=EF,故B的对应点为F.根据SAS可证,即EA=GE
,故A的对应点为G. 由此可得:要使该模板旋转60°后,三个顶点仍在平行四边形ABCD的边上, 平行四边形ABCD的角和边需要满足的条件是:∠ABC=60°,AB=BC.
解:要使该模板旋转60°后,三个顶点仍在 的边上,的角和边需要满足的条件是:∠ABC=60°,AB=BC
理由如下:
三角形模板绕点E旋转60°后,E为旋转中心,位置不变,仍在边BC上,过点E分别做射线EM,EN,使得∠BEM=∠AEN=60°,
∵AE⊥BC,即∠AEB=∠AEC=90°,
∴∠BEM<∠BEA
∴射线EM只能与AB边相交,记交点为F
在△BEF中,
∵∠B=∠BEF=60°,
∴∠BFE=180°-∠B-∠BEF=60°
∴∠B=∠BEF=∠BFE=60°
∴△BEF为等边三角形
∴EB=EF
∵当三角形模板绕点E旋转60°后,点B的对应点为F,此时点F在边AB边上
∵∠AEC=90°
∴∠AEN=60°<∠AEC
∴射线EN只可能与边AD或边CD相交
若射线EN与CD相交,记交点为G
在Rt△AEB中,∠1=90°-∠B=30°
∴BE=
∵AB=BC=BE+EC
∴EC=
∵∠GEC=∠AEC-∠AEG=90°-60°=30°
∵在中,AB//CD
∠C=180°-∠ABC=120°
又∵∠EGC=180°-120°-30°=30°
∴EC=GC
即AF=EF=EC=GC=,且∠1=∠GEC=30°
∴
∴EA=GE
∴当三角形模板绕点E旋转60°后,点A的对应点为G,此时点G在边CD边上
∴只有当∠ ABC=60°, AB= BC时,三角形模板绕点E顺时针旋转60°后,三个顶点仍在平行四边形ABCD的边上.
∴要使该模板旋转60°后,三个顶点仍在平行四边形ABCD的边上, 平行四边形ABCD的角和边需要满足的条件是:∠ABC=60°,AB=BC.
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【题目】某超市销售一种商品,成本每千克40元,规定每千克售价不低于成本,且不高于60元,经市场调查,每天的销售量y(单位:千克)与每千克售价x(单位:元)满足一次函数关系,部分数据如下表:
售价x(元/千克) | 45 | 50 | 60 |
销售量y(千克) | 110 | 100 | 80 |
(1)求y与x之间的函数表达式;
(2)设商品每天的总利润为w(单位:元),则当每千克售价x定为多少元时,超市每天能获得的利润最大?最大利润是多少元?
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【题目】一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“美”、“丽”、“光”、“明”的四个小球,除汉字不同之外,小球没有任何区别,每次摸球前先搅拌均匀再摸球.
(1)若从中任取一个球,求摸出球上的汉字刚好是“美”的概率;
(2)甲从中任取一球,不放回,再从中任取一球,请用树状图或列表法,求甲取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“光明”的概率.
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【题目】已知:二次函数y=x2-4x+3.
(1)将y=x2-4x+3化成的形式;
(2)求出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标;
(3)当x取何值时,y<0.
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【题目】已知AC=DC,AC⊥DC,直线MN经过点A,作DB⊥MN,垂足为B,连接CB.
(1)直接写出∠D与∠MAC之间的数量关系;
(2)①如图1,猜想AB,BD与BC之间的数量关系,并说明理由;
②如图2,直接写出AB,BD与BC之间的数量关系;
(3)在MN绕点A旋转的过程中,当∠BCD=30°,BD=时,直接写出BC的值.
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【题目】已知:△ABC在直角坐标平面内,三个顶点的坐标分别为A(0,3)、B(3,4)、C(2,2)(正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度).
(1)画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1,点C1的坐标是 ;
(2)以点B为位似中心,在网格内画出△A2B2C2,使△A2B2C2与△ABC位似,且位似比为2:1,点C2的坐标是 .
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【题目】二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c 为常数,且a≠0)的图像上部分点的横坐标x和纵
坐标y的对应值如下表
x | … | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | … |
y | … | -3 | -3 | -1 | 3 | 9 | … |
关于x的方程ax2+bx+c=0一个负数解x1满足k<x1<k+1(k为整数),则k=________.
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【题目】阅读材料:
工厂加工某种新型材料,首先要将材料进行加温处理,使这种材料保持在一定的温度范围内方可进行继续加工处理这种材料时,材料温度是时间的函数下面是小明同学研究该函数的过程,把它补充完整:
在这个函数关系中,自变量x的取值范围是______.
如表记录了17min内10个时间点材料温度y随时间x变化的情况:
时间 | 0 | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 | 13 | 15 | 17 | |
温度 | 15 | 24 | 42 | 60 | m |
上表中m的值为______.
如图,在平面直角坐标系xOy中,已经描出了上表中的部分点根据描出的点,画出该函数的图象.
根据列出的表格和所画的函数图象,可以得到,当时,y与x之间的函数表达式为______,当时,y与x之间的函数表达式为______.
根据工艺的要求,当材料的温度不低于时,方可以进行产品加工,在图中所示的温度变化过程中,可以进行加工的时间长度为______min.
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【题目】如图,AB为⊙O的直径,PD切⊙O于点C,与BA的延长线交于点D,DE⊥PO交PO延长线于点E,连接PB,∠EDB=∠EPB.
(1)求证:PB是的切线.
(2)若PB=6,DB=8,求⊙O的半径.
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