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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,AEBC于点E.若一个三角形模板与△ABE完全重合地叠放在一起,现将该模板绕 E顺时针旋转.要使该模板旋转60°后,三个顶点仍在平行四边形ABCD的边上,请探究平行四边形ABCD的角和边需要满足的条件.

【答案】详见解析.

【解析】

三角形模板绕点E旋转60°后,E为旋转中心,位置不变,仍在边BC上,过点E分别做射线EMENEMEN分别AB,CDF,G使得∠BEM=AEN=60°,可证△BEF为等边三角形,即EB=EF,故B的对应点为F.根据SAS可证,即EA=GE

,故A的对应点为G. 由此可得:要使该模板旋转60°后,三个顶点仍在平行四边形ABCD的边上, 平行四边形ABCD的角和边需要满足的条件是:ABC=60°,AB=BC.

解:要使该模板旋转60°后,三个顶点仍在 的边上,的角和边需要满足的条件是:∠ABC=60°,AB=BC

理由如下:

三角形模板绕点E旋转60°后,E为旋转中心,位置不变,仍在边BC上,过点E分别做射线EMEN,使得∠BEM=AEN=60°,

AEBC,即∠AEB=AEC=90°,

∴∠BEM<BEA

∴射线EM只能与AB边相交,记交点为F

在△BEF中,

∵∠B=BEF=60°,

∴∠BFE=180°-B-BEF=60°

∴∠B=BEF=BFE=60°

∴△BEF为等边三角形

EB=EF

∵当三角形模板绕点E旋转60°后,点B的对应点为F,此时点F在边AB边上

∵∠AEC=90°

∴∠AEN=60°<AEC

∴射线EN只可能与边AD或边CD相交

若射线ENCD相交,记交点为G

RtAEB中,∠1=90°-B=30°

BE=

AB=BC=BE+EC

EC=

∵∠GEC=AEC-AEG=90°-60°=30°

∵在中,AB//CD

C=180°-ABC=120°

又∵∠EGC=180°-120°-30°=30°

EC=GC

AF=EF=EC=GC=,且∠1=GEC=30°

EA=GE

∴当三角形模板绕点E旋转60°后,点A的对应点为G,此时点G在边CD边上

∴只有当∠ ABC=60°, AB= BC,三角形模板绕点E顺时针旋转60°后,三个顶点仍在平行四边形ABCD的边上.

∴要使该模板旋转60°后,三个顶点仍在平行四边形ABCD的边上, 平行四边形ABCD的角和边需要满足的条件是:ABC=60°,AB=BC.

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45

50

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100

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x

1

0

1

2

3

y

3

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1

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9

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时间

0

1

3

5

7

9

11

13

15

17

温度

15

24

42

60

m

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