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    13．如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O（0，0），A（4，0），C（0，m），其中m为常数且m≥2，点P是OA边上的动点（与点O，A不重合）． 现将△PAB沿PB翻折，得到△PDB；再在OC边上选取适当的点E，将△POE沿PE翻折，得到△PFE，并使直线PD，PF重合．
    （1）设P（x，0），E（0，y），求y关于x的函数关系式，并求y的最大值（用含m的代数式表示）；
    （2）当m=3时，若翻折后点D落在BC边上（如图2），求过E，P，B三点的抛物线的解析式；
    （3）在（2）的情况下，在该抛物线上是否存在点Q，使△PEQ是以PE为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

    分析 （1）由已知可得OP=x，OE=y，则PA=4-x，AB=3．利用互余关系可证Rt△POE∽Rt△BPA，由相似比可得y关于x的函数关系式；
    （2）此时，△PAB、△POE均为等腰直角三角形，BD=BA=3，CD=4-3=1，故P（1，0），E（0，1），B（4，3），代入抛物线解析式的一般式即可；
    （3）以PE为直角边，则点P可以作为直角顶点，此时∠EPB=90°，B点符合；点E也可以作为直角顶点，采用将直线PB向上平移过E点的方法，确定此时的直线EQ解析式，再与抛物线解析式联立，可求点Q坐标．

    解答 解：（1）由题，AB=OC=m，OA=4，∠EOP=∠PAB=90°，
    ∵P（x，0），E（0，y），
    ∴OP=x，OE=y，AP=4-x，
    ∵将△POE沿PE翻折，得到△PFE，
    ∴∠EPO+∠APB=90°，
    又∵∠EPO+∠OEP=90°，
    ∴∠OEP=∠APB，
    ∴△OEP∽△APB，
    ∴$\frac{EO}{PA}=\frac{OP}{AB}$，$\frac{y}{4-x}=\frac{x}{m}$，
    ∴$y=\frac{x（4-x）}{m}=\frac{{-{x^2}+4x}}{m}$，
    ∵$y=\frac{{-{{（x-2）}^2}+4}}{m}$，
    ∴x=2时，y取得最大值$y=\frac{4}{m}$；

    （2）由题B（4，3），将△PAB沿PB翻折，得到△PDB；将△POE沿PE翻折，得到△PFE，
    ∴∠PBA=$\frac{1}{2}$∠ABC=45°，∠OPE=$\frac{1}{2}∠$OPF，
    ∵∠COA=∠ABC=90°，
    ∴△BAP和△EOP为等腰直角三角形，
    ∴PA=AB=3，
    ∴OP=1，
    ∴OE=OP=1，
    ∴P（1，0），E（0，1），
    ∴可设过B、P、E的抛物线为y=ax2+bx+1，
    ∵过点（4，3）和（1，0），
    ∴$\left\{\begin{array}{l}{0=a+b+1}\\{3=16a+4b+1}\end{array}\right.$
    解得a=$\frac{1}{2}$，b=-$\frac{3}{2}$，
    ∴过E，P，B三点的抛物线的解析式为：$y=\frac{1}{2}{x^2}-\frac{3}{2}x+1$；

    （3）由题可知∠EPB=90°，
    ∴Q1（4，3）符合题意，
    ∵EQ2∥BP，BP：y=x-1，
    ∴EQ2：y=x+1，
    与抛物线$y=\frac{1}{2}{x^2}-\frac{3}{2}x+1$，
    解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{3}{2}x+1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=5}\\{{y}_{1}=6}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=0}\\{{y}_{2}=1}\end{array}\right.$，
    ∴Q2（5，6），
    综上：Q点的坐标是（4，3）或（5，6）．

    点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握证明相似的方法：两对对应角相等的两三角形相似；两对对应边对应成比例且夹角相等的两三角形相似；三边对应成比例的两三角形相似；待定系数法的步骤：先设出函数解析式，把已知点的坐标代入得到一个方程组，求出方程组的解即可得到所设字母的值，确定出函数解析式．同时注意翻折得到三角形全等以及掌握分类讨论的数学思想．

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    2．如图，把等腰Rt△ABC沿AC方向平移到等腰Rt△A′B′C′的位置时，它们重叠的部分的面积是Rt△ABC面积的$\frac{1}{4}$．若AB=$\sqrt{2}$cm，则它移动的距离AA′=1cm．

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    4．菱形有一个内角为120°，较短对角线为6，则菱形的周长为（　　）
    A．12B．24C．36D．12$\sqrt{3}$

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    1．（5$\sqrt{15}$+$\sqrt{\frac{3}{5}}$）÷$\sqrt{15}$．

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    8．已知线段MN=4，MN∥x轴，若点M坐标为（-1，2），且点N在第二象限，则N点坐标为（-5，2）．

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    18．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=AC=1，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△ADE，则BC边扫过部分图形（即阴影部分）的面积为$\frac{1}{4}$π（结果保留π）．

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    5．小明在楼顶上看到对面山上有一座铁塔．他现有的测量材料：测倾器、皮尺．请你根据你所掌握的知识，选择恰当的条件求出塔高．（精确到1）
    ∠DEB=22°，∠CEB=9°，∠DAB=33°，∠CAB∠=14°，∠DFG=42°
    （参考数据：tan22°≈0.40，tan9°≈0.16，tan33°≈0.65，tan14°≈0.25，tan42°≈0.90）
    根据你的发现，在下面的题中填入所需要的条件（只做一题），并解答．
    （1）选两个长度，角度任选．
    已知：AE=120m，AB=200m，∠DEB=22°，∠CEB=9°
    求：CD．
    （2）选一个长度，角度任选．
    已知：AB=200m，∠CAB=14°，∠DAB=33°
    求：CD．
    我选（2）．解答如下：在Rt△DAB中DB=AB•tag33°=200×0.65=130m，
    在Rt△CAB中BC=AB•tag14°=200×0.25=50m，
    ∴CD=DB-BC=130-50=80m．．

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    2．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，8），点B（6，8）．
    （1）只用直尺（没有刻度）和圆规，求作一个点P，使点P同时满足下列两个条件（要求保留作图痕迹，不必写出作法）：
    ①点P到A、B两点的距离相等；
    ②点P到∠xOy的两边距离相等．
    （2）在（1）作出点P后，直接写出直线PA的解析式．

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    3．如图，∠ABD=90°，AB=BD，AC⊥BC，DE⊥BC，垂足分别为C、E．求证：AC+CE=DE．

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