Question

2．如图，把等腰Rt△ABC沿AC方向平移到等腰Rt△A′B′C′的位置时，它们重叠的部分的面积是Rt△ABC面积的$\frac{1}{4}$．若AB=$\sqrt{2}$cm，则它移动的距离AA′=1cm．

Answer 1

分析 根据等腰直角三角形的性质得∠BAC=∠BCA=45°，AC=$\sqrt{2}$AB=$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=2，再根据平移的性质得∠BAC=∠BCA=∠B′A′C′=∠B′C′A′=45°，AA′等于平移的距离，于是可判断△PA′C′为等腰直角三角形，利用三角形面积公式得到$\frac{1}{2}$PA′²=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$，解得PA′=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则A′C=$\sqrt{2}$PA′=1，然后计算AC-A′C．

解答 解：∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠BCA=45°，AC=$\sqrt{2}$AB=$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=2，
∵等腰Rt△ABC沿AC方向平移得到等腰Rt△A′B′C′，
∴∠BAC=∠BCA=∠B′A′C′=∠B′C′A′=45°，AA′等于平移的距离，
∴△PA′C′为等腰直角三角形，
∴S_△PA′C′=$\frac{1}{2}$PA′²=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$，
∴PA′=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴A′C=$\sqrt{2}$PA′=1，
∴AA′=AC-A′C=2-1=1，
即它移动的距离AA′为1cm．
故答案为1．

点评 本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．也考查了等腰直角三角形的判定与性质．