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    【题目】如图1，直线，的平分线交于点．

    （1）求证：；

    （2）如图2，过点作于点，交于点，探究与之间的数量关系，并证明你的猜想；

    （3）如图3，在（2）的条件下，的平分线交延长线于点，为延长线上一点，，将延直线翻折，所得直线交于，交于，若，求的度数．

    【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．

    【解析】

    （1）根据平行线的性质定理得到内错角相等,再根据角平分线的性质,即可得到等角.

    （2）根据平行与垂直的性质,可得,而为的外角,根据三角形的外角定理即可解答.

    （3）根据题目中已给的数量关系, 求的度数可转化为先求的度数,根据折叠的性质和平行线的性质,可将多个角的复杂数量关系转移到中,结果证明它是个等腰直角三角形,如此可解.

    （1）证明: ,

    ,

    又评分,

    ,

    .

    （2）为的外角,

    ,

    又

    ,

    即.

    （3）如图,

    根据折叠的性质,

    ,

    ,

    ,

    ,

    ,

    ,,

    ,

    在中, ,

    为等腰直角三角形, ,

    ,

    ,

    .

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    （2）将图2中的三角尺绕点顺时针方向旋转（）．

    ①如图3，当在的内部时，求的值；

    ②若旋转的速度为每秒15°，经过秒，当三角尺与三角尺的重叠部分以为顶点的角的度数为30°时，求的值．

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    【题目】某校260名学生参加植树活动,要求每人植4~7棵,活动结束后随机抽查了若干名学生每人的植树量,并分为四种类型, A：4棵；B：5棵；C：6棵；D:7棵,将各类的人数绘制成扇形图(如图1)和条形图(如图2),请回答下列问题:

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    (2)写出被调查学生每人植树量的众数、中位数；

    (3)求被调查学生每人植树量的平均数,并估计这260名学生共植树多少棵？

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    A.B.C.D.

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    【题目】阅读下列信息材料

    信息1：因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来，比如、、等，而常用的“……”或者“”的表示方法都不够百分百准确；

    信息2：的小数部分是，可以看成得来的：

    信息3：任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间，如，是因为：

    根据上述信息，回答下列问题：

    （1）若，则的小数部分可以表示为_______；

    （2）也是夹在两个整数之间的，可以表示为则_______；

    （3）若，其中是整数，且，请求的相反数．

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    【题目】在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，F为射线AE上一点（不与点E重合），且FD⊥BC于D；

    （1）如果点F与点A重合，且∠C=50°，∠B=30°，如图1，求∠EFD的度数；

    （2）如果点F在线段AE上（不与点A重合），如图2，问∠EFD与∠C﹣∠B有怎样的数量关系？并说明理由．

    （3）如果点F在△ABC外部，如图3，此时∠EFD与∠C﹣∠B的数量关系是否会发生变化？请说明理由．

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    【题目】规定两数a、b之间的一种运算，记作（a，b）：如果，那么（a，b）=c．

    例如：因为，所以（2，8）=3.

    （1）根据上述规定，填空：

    （5，125）= ，（-2，4）= ，（-2，-8）= ；

    （2）小明在研究这种运算时发现一个现象：，他给出了如下的证明：

    设，则，即

    ∴，即，

    ∴．

    请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由.

    (4，5)＋(4，6)=(4，30)

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    （1）若，求；

    （2）若，求；

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    （1）求证：△ACD∽△ABC；

    （2）求的值．

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