Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，对于线段MN的“三等分变换”，给出如下定义：如图1，点P，Q为线段MN的三等分点，即MP＝PQ＝QN，将线段PM以点P为旋转中心顺时针旋转90°得到PM′，将线段QN以点Q为旋转中心顺时针旋转90°得到QN′，则称线段MN进行了三等分变换，其中M′，N′记为点M，N三等分变换后的对应点.

例如：如图2，线段MN，点M的坐标为（1，5），点N的坐标为（1，2），则点P的坐标为（1，4），点Q的坐标为（1，3），那么线段MN三等分变换后，可得：M′的坐标为（2，4），点N′的坐标为（0，3）.

（1）若点P的坐标为（2，0），点Q的坐标为（4，0），直接写出点M′与点N′的坐标；

（2）若点Q的坐标是（0，﹣），点P在x轴正半轴上，点N′在第二象限.当线段PQ的长度为符合条件的最小整数时，求OP的长；

（3）若点Q的坐标为（0，0），点M′的坐标为（﹣3，﹣3），直接写出点P与点N的坐标；

（4）点P是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个定点，点P的坐标为（，）当点N′在圆O内部或圆上时，求线段PQ的取值范围及PQ取最大值时点M′的坐标.

Answer 1

【答案】（1）M（2，2），N′（4，﹣2）；（2）；（3）P（0，﹣3），N（0，3）；（4）（，）

【解析】

（1）根据“三等分变换”的定义，可知M（2，2），N′（4，﹣2）；（2）若点Q的坐标是（0，﹣），点P在x轴正半轴上，点N′在第二象限.当线段PQ的长度为符合条件的最小整数时，求OP的长；

（3）若点Q的坐标为（0，0），点M′的坐标为（﹣3，﹣3），直接写出点P与点N的坐标；（4）如图3中，过点P作PA⊥x轴于点A.在Rt△OAP中，由勾股定理，OP＝，在△PQN′中，∠PQN′＝90°，PQ＝QN′，推出点N′在⊙O内部或在⊙O上运动，当PN′为⊙O直径时，PN′最大，推出∠QPN′＝45°推出PQ＝PN′＝，推出PQ的取值范围：0＜PQ≤，由P（，﹣），由对称性可知N′（﹣，），再根据平行四边形的性质求出点M′坐标即可.

解：（1）∵PQ＝2，根据“三等分变换”的定义，可知M（2，2），N′（4，﹣2）.

（2）①当PQ＝1时，OQ＝

在RT△OPQ中，如图1中，

∴OP＝OQ

∴∠OQP＝∠OPQ＝45°

∵∠PQN′＝90°PQ＝Q N′

∴点N’在x轴负半轴上，不在第二象限

∴PQ＝1不符合题意.

②当PQ＝2时

OP＝，

此时，点N′在第二象限符合题意.

（3）如图2中，由图象可知，P（0，﹣3），N（0，3）.

（4）如图3中，过点P作PA⊥x轴于点A.

在Rt△OAP中，由勾股定理，OP＝，

在△PQN′中，∠PQN′＝90°，PQ＝QN'

点N'在⊙O内部或在⊙O上运动，当PN′为⊙O直径时，PN′最大

∠QPN′＝45°

∴PQ＝PN′＝，

∴PQ的取值范围：0＜PQ≤，

∵P（，﹣）

由对称性可知N′（﹣，）

过点N′作N′E⊥x轴于点E，过点Q作QF⊥x轴于点F

易证△ON′E≌△QOF，

∴OF＝EN′＝，FQ＝OE＝

∴Q（﹣，﹣）

∵∠N′QP＝∠QP M′＝90°

∴N′Q∥PM′，

又∵N′Q＝PM′，

∴四边形PN′QM′是平行四边形，对角线的交点为J，设M′（m，n）

则J（，﹣），

则有，，

解得，，

∴点M′的坐标为（，）.