Question

5．已知：如图，△ABC中，AB=AC，∠B=30°，EA⊥AB，FA⊥AC．
（1）判断△AEF是什么特殊的三角形，并证明你的结论；
（2）求证：BF=EF=EC．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性质得出∠C=∠B=30°，求出∠AEF=∠AFE=90°-30°=60°，得出∠EAF=60°=∠AEF=∠AFE，即可得出结论；
（2）由等边三角形的性质得出AF=EF=AE，由三角形的外角性质得出∠B=∠FAB，证出BF=AF，同理：EC=AE，即可得出结论．

解答 （1）解：△AEF是等边三角形；理由如下：
∵AB=AC，∠B=30°，
∴∠C=∠B=30°，
∵EA⊥AB，FA⊥AC，
∴∠AEF=∠AFE=90°-30°=60°，
∴∠EAF=60°=∠AEF=∠AFE，
∴△AEF是等边三角形；
（2）证明：∵△AEF是等边三角形，
∴AF=EF=AE，
∵∠AFE=∠B+∠FAB，
∴∠FAB=60°-30°=30°，
∴∠FAB=∠B，
∴BF=AF，
同理：EC=AE，
∴BF=EF=EC．

点评 本题考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质、直角三角形的性质；熟练掌握等边三角形的判定与性质是解决问题的关键．