Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，且E为AD的中点，FC＝3DF，连接EF并延长交BC的延长线于点G．

（1）求证：△ABE∽△DEF；

（2）若正方形的边长为8，求△BEG的面积．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）80．

【解析】

（1）根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可．

（2）证明△BAE∽△GEB，利用＝，求出EG即可解决问题．

（1）证明：设正方形的边长为4a．

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC＝CD＝AD＝4a，∠A＝∠D＝90°，

∵AE＝ED＝2a，DF＝a，CF＝3a，

∴＝2，＝2，

∴＝，

∴△ABE∽△DEF．

（2）解：∵△ABE∽△DEF，

∴∠AEB＝∠EFD，

∵∠EFD+∠DEF＝90°，

∴∠AEB+∠DEF＝90°，

∴∠BEF＝90°，

∵AB＝8，AE＝4，∠A＝90°，

∴BE＝＝＝4，

∵AE∥∥BG，

∴∠AEB＝∠EBG，

∵∠A＝∠BEG＝90°，

∴△BAE∽△GEB，

∴＝，

∴＝，

∴EG＝8

∴EG＝2，

∴S△BEG＝BEEG＝×4×8＝80．