Question

【题目】如图,AB是⊙O的一条弦,点C是⊙O上一动点,且∠ACB=30°,点E、F分别是AC、BC的中点,直线EF与⊙O交于G、H两点,若⊙O的半径为8,则GE+FH的最大值为（ ）

A.8B.12C.16D.20

Answer 1

【答案】B

【解析】

首先连接OA、OB，根据圆周角定理，求出∠AOB=2∠ACB=60°，进而判断出△AOB为等边三角形；然后根据⊙O的半径为8，可得AB=OA=OB=8，再根据三角形的中位线定理，求出EF的长度；最后判断出当弦GH是圆的直径时，它的值最大，进而求出GE+FH的最大值是多少即可．

如图所示，连接OA、OB，

∵∠ACB=30°，

∴∠AOB=2∠ACB=60°，

∵OA=OB，

∴△AOB为等边三角形，

∵O的半径为8，

∴AB=OA=OB=8，

∵点E，F分别是AC、BC的中点，

∴EF=AB=4，

∵GE+EF+FH=GH，EF为定值，

∴当GH最大时，GE+FH最大

∵当弦GH是圆的直径时，它的最大值为：8×2=16，

∴GE+FH的最大值为：164=12.

故选B.