【题目】问题情境:如图1,AB∥CD,∠PAB=130°,∠PCD=120°,求∠APC的度数.
小明的思路是:过P作PE∥AB,通过平行线性质来求∠APC.
(1)按小明的思路,易求得∠APC的度数为_____度;
(2)问题迁移:如图2,AB∥CD,点P在射线OM上运动,记∠PAB=α,∠PCD=β,当点P在B、D两点之间运动时,问∠APC与α、β之间有何数量关系?请说明理由;
(3)在(2)的条件下,如果点P在B、D两点外侧运动时(点P与点O、B、D三点不重合),请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系.
【答案】(1)110°.(2)∠APC=∠α+∠β,(3)当P在BD延长线上时,∠CPA=∠α﹣∠β;当P在DB延长线上时,∠CPA=∠β﹣∠α.
【解析】
试题(1)过点P作PE∥AB,则有PE∥AB∥CD,根据两直线平行,同旁内角互补得到∠A+∠APE=180°,∠C+∠CPE=180°,再根据∠APC=∠APE+∠CPE和已知∠APE和∠CPE度数即可求出∠APC的角度。(2)过P作PE∥AB交AC于E,则有AB∥PE∥CD,进而得到∠α=∠APE,∠β=∠CPE,再根据∠APC=∠APE+∠CPE,即可用α、β来表示∠APC的度数;(3)根据题意画出图形,当P在BD延长线上时,P作PE∥AB交AC于E,则有AB∥PE∥CD,可得到∠CPA=∠β﹣∠α,当如图所示,当P在DB延长线上时,P作PE∥AB交AC于E,则有AB∥PE∥CD,可得到∠CPA=∠β﹣∠α;
试题解析:
(1)解:过点P作PE∥AB,
∵AB∥CD,
∴PE∥AB∥CD,
∴∠A+∠APE=180°,∠C+∠CPE=180°,
∵∠PAB=130°,∠PCD=120°,
∴∠APE=50°,∠CPE=60°,
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°.
(2)∠APC=∠α+∠β,
理由:如图2,过P作PE∥AB交AC于E,
∵AB∥CD,
∴AB∥PE∥CD,
∴∠α=∠APE,∠β=∠CPE,
∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠α+∠β;
(3)如图所示,当P在BD延长线上时,
∠CPA=∠α﹣∠β;
如图所示,当P在DB延长线上时,
∠CPA=∠β﹣∠α.
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【题目】某公司有A、B两种客车,它们的载客量和租金如下表,星星中学根据实际情况,计划用A、B型车共5辆,同时送七年级师生到校基地参加社会实践活动.
A | B | |
载客量(人/辆) | 40 | 20 |
租金(元/辆) | 200 | 150 |
(1)若要保证租金费用不超过980元,请问该学校有哪几种租车方案?
(2)在(1)的条件下,若七年级师生共有150人,问哪种租车方案最省钱?
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【题目】“小组合作制”正在七年级如火如茶地开展,旨在培养七年级学生的合作学习的精神和能力,学会在合作中自主探索.数学课上,吴老师在讲授“角平分线”时,设计了如下四种教学方法:①教师讲授,学生练习;②学生合作交流,探索规律;③教师引导学生总结规律,学生练习;④教师引导学生总结规律,学生合作交流,吴老师将上述教学方法作为调研内容发到七年级所有同学手中要求每位同学选出自己最喜欢的一种,然后吴老师从所有调查问卷中随机抽取了若干份调查问卷作为样本,统计如下:
序号①②③④代表上述四种教学方法,图二中,表示①部分的扇形的中心角度数为36°,请回答问题:
(1)在后来的抽样调查中,吴老师共抽取 位学生进行调查;并将条形统计图补充完整;
(2)图二中,表示③部分的扇形的中心角为多少度?
(3)若七年级学生中选择④种教学方法的有540人,请估计七年级总人数约为多少人?
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【题目】如图,已知∠AOB=60°,∠AOB的边OA上有一动点P,从距离O点18cm的点M处出发,沿线段MO、射线OB运动,速度为2cm/s;动点Q从点O出发,沿射线OB运动,速度为lcm/s;P、Q同时出发,同时射线OC绕着点O从OA上以每秒5°的速度顺时针旋转,设运动时间是t(s).
(1)当点P在MO上运动时,PO=______cm(用含t的代数式表示);
(2)当点P在线段MO上运动时,t为何值时,OP=OQ?此时射线OC是∠AOB的角平分线吗?如果是请说明理由.
(3)在射线OB上是否存在P、Q相距2cm?若存在,请求出t的值并求出此时∠BOC的度数;若不存在,请说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系中,点A点B已知满足.
(1)点A的坐标为_________,点B的坐标为__________;
(2)如图1,点E为线段OB上一点,连接AE,过A作AF⊥AE,且AF=AE,连接BF交轴于点D,若点D(-1,0),求点E的坐标;
(3)在(2)的条件下,如图2,过E作EH⊥OB交AB于H,点M是射线EH上一点(点M不在线段EH上),连接MO,作∠MON=45°,ON交线段BA的延长线于点N,连接MN,探究线段MN与OM的关系,并说明理由。
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【题目】乘法公式的探究及应用.
数学活动课上,老师准备了若干个如图1的三种纸片,A种纸片边长为a的正方形,B种纸片是边长为b的正方形,C种纸片长为a、宽为b的长方形,并用A种纸片一张,B种纸片一张,C种纸片两张拼成如图2的大正方形.
(1)请用两种不同的方法求图2大正方形的面积.方法1:______;方法2:_______.
(2)观察图2,请你写出下列三个代数式:(a+b)2,a2+b2,ab之间的等量关系._______;
(3)类似的,请你用图1中的三种纸片拼一个使长方形面积为:3a2+7ab+2b2,并对3a2+7ab+2b2因式分解为_______.
(4)根据(2)题中的等量关系,解决如下问题:
①已知:a+b=5,a2+b2=11,求ab的值;
②已知(x﹣2016)2+(x﹣2018)2=34,求(x﹣2017)2的值.
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【题目】在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1个单位长度,△ABC的三个顶点的位置如图所示.现将△ABC沿着点A到点D的方向平移,使点A变换为点D,点E、F分别是B、C的对应点.
(1)画出△ABC中AB边上的高CH;(提醒:别忘了标注字母);
(2)请画出平移后的△DEF;
(3)平移后,线段AB扫过的部分所组成的封闭图形的面积是___________.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB′C′(点B的对应点是点B′,点C的对应点是点C′,连接CC′.若∠CC′B′=32°,则∠B的大小是( )
A.32°
B.64°
C.77°
D.87°
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