Question

如图，一次函数y=kx+1（k≠0）与反比例函数y=

m

x

（m≠0）的图象有公共点A（-2，n）．直线L⊥x轴于点N（-5，0），与一次函数和反比例函数的图象分别交与点B，C．一次函数y=kx+1与x轴、y轴分别交于点D，E，且∠ADN=45°
（1）求一次函数和反比例函数的解析式．
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：

分析：（1）先由一次函数y=kx+1与x轴、y轴分别交于点D，E，得出D（-

1

k

，0），E（0，1），根据对顶角相等得到∠ODE=∠ADN=45°，于是OD=OE，即

1

k

=1，求出k=1，得到一次函数解析式为y=x+1；将x=-2代入，求出n=-1，那么A（-2，-1），将A点坐标代入反比例函数解析式中求出m的值，即可确定出反比例解析式；
（2）直接求出BN，CN的长，进而求出BC的长，即可求出△ABC的面积．

解答：解：（1）∵一次函数y=kx+1与x轴、y轴分别交于点D，E，
∴D（-

1

k

，0），E（0，1）．
∵∠ADN=45°，
∴∠ODE=∠ADN=45°，
∴OD=OE，即

1

k

=1，k=1，
∴一次函数解析式为y=x+1，
∴当x=-2时，n=-2+1=-1，
∴A（-2，-1）．
∵反比例函数y=

m

x

（m≠0）的图象过点A（-2，-1），
∴m=-2×（-1）=2，
∴反比例解析式为y=

2

x

；

（2）∵N（-5，0），
∴点B、点C的横坐标均为-5，
将x=-5代入y=x+1得：y=-5+1=-4，即BN=4，
将x=-5代入y=

2

x

得：y=-

2

5

，即CN=

2

5

，
∴BC=BN-CN=4-

2

5

=

18

5

，A到BC的距离为：3，
∴S_△ABC=

1

2

×

18

5

×3=

27

5

．

点评：此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法求函数解析式，三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键．