Question

如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A点的坐标为（3，0），以OA为边作等边△OAB，点B在第一象限，过点B作AB的垂线交x轴于点C，动点P从O点出发沿OC向C点运动，动点Q从B点出发沿BA向A点运动，P，Q两点同时出发速度均为1个单位/秒．当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止．设运动时间为t秒．求：过点Q作x轴垂线，垂足为H，问t为何值时，以P，Q，H为顶点的三角形与△ABC相似．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,坐标与图形性质,等边三角形的性质

专题：

分析：过点Q作x轴垂线，垂足为H，设运动时间为t秒，分两种情况①当△PHQ∽△ABC时，②当△QHP∽△ABC时，分别利用PH与QH的关系求解即可．

解答：解：如图，过点Q作x轴垂线，垂足为H，设运动时间为t秒，

∵△OAB是等边三角形，
∴QH=AQ•sin60°=

3 (3-t)

2

，
①当△PHQ∽△ABC时，∠QPH=60°，可得PH=

3

3

QH，
∵PH=AP-AH=3+t-

1

2

（3-t），
∴3+t-

1

2

（3-t）=

3

3

×

3 (3-t)

2

，
解得t=0．
②当△QHP∽△ABC时，∠QPH=30°，可得PH=

3

QH，
∵PH=AP-AH=3+t-

1

2

（3-t），
∴3+t-

1

2

（3-t）=

3

×

3 (3-t)

2

，
解得t=1．
综上所述，t=0或t=1时，以P，Q，H为顶点的三角形与△ABC相似．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质，坐标与图形性质及等边三角形的性质，解题的关键是分类讨论．