Question

如图，AB是⊙O的直径，弦CD平分∠ACB，若AC+BC=6，则四边形ACBD的面积是

 

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Answer 1

考点：圆周角定理,勾股定理,等腰直角三角形

专题：计算题

分析：连接AD，如图，根据圆周角定理，由AB是⊙O的直径得到∠ACB=∠ADB=90°，由于弦CD平分∠ACB，则∠ACD=∠BCD=45°，根据圆周角定理得∠DAB=∠DBA=45°，于是可判断△ADB为等腰直角三角形，则BD=

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AB，根据三角形面积公式得S_△ADB=

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AB²，即AB²=4S_△ADB，再利用完全平方公式，由AC+BC=6得AC²+BC²+2AC•BC=36，而AC²+BC²=AB²，S_△ACB=

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AC•BC，所以AB²+4S_△ACB=36，易得4S_△ADB+4S_△ACB=36，于是可计算出S_{四边形ABCD}=9．

解答：解：连接AD，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∵弦CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠DAB=∠DBA=45°，
∴△ADB为等腰直角三角形，
∴BD=

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AB，
∴S_△ADB=

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BD²=

1

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AB²，
∴AB²=4S_△ADB，
∵AC+BC=6，
∴（AC+BC）²=36，即AC²+BC²+2AC•BC=36，
而AC²+BC²=AB²，S_△ACB=

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2

AC•BC，
∴AB²+4S_△ACB=36，
∴4S_△ADB+4S_△ACB=36，
∴S_{四边形ABCD}=9．
故答案为9．

点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质．