Question

已知：首项系数不相等的两个方程：（a-1）x²-（a²+2）x+（a²+2a）=0和（b-1）x²-（b²+2）x+（b²+2b）=0（其中a，b为正整数）有一个公共根，求a，b的值．

Answer 1

考点：一元二次方程的解

专题：

分析：分别求得两个方程的根，然后结合已知条件得到关于a、b的数量关系，再由限制性条件“a，b为正整数”来求a、b的值即可．

解答：解：由方程：（a-1）x²-（a²+2）x+（a²+2a）=0，得
[（a-1）x-（a-2）]（x-a）=0，
解得 x₁=

a+2

a-1

，x₂=a．
同理可由方程（b-1）x²-（b²+2）x+（b²+2b）=0 得
x₁=

b+2

b-1

，x₂=b．
∵a-1≠b-1，即a≠b，且a、b为正整数，两个方程有一个公共根，
∴

a+2

a-1

=b，
则b=1+

3

a-1

，
∴a-1=1或3，
则a=2，b=4；或a=4，b=2．

点评：本题考查了一元二次方程的解的定义．解题时，要注意a、b是互不相等的正整数．