Question

如图，△ABC和△ADE都是以A为直角顶点的等腰直角三角形，点B、A、E在同一直线上．

（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）如图2，设M，N分别是BD，CE的中点，求证：△AMN也是等腰直角三角形；
（3）如图3，延长BD交CE于H，求证：∠BHA=45°．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：证明题

分析：（1）根据等腰直角三角形腰长相等和顶角为90°的性质即可证明△ABD≌△ACE；
（2）根据△ABD≌△ACE可得BD=CE，根据直角三角形中线性质可得AN=AM，再根据∠MBA=∠MAB即可求得∠MAN=90°，即可解题；
（3）作AM⊥BH，AN⊥CE，即可求得∠MAD=∠NAE，即可求证△AEN≌△ADM，即可解题．

解答：解：（1）在△ABD和△ACE中，

AB=AC ∠BAD=∠CAE=90° AD=AE

，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）∵△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵M，N分别是BD，CE的中点，BD，CE是RT△ABD和RT△ACE斜边中点，
∴AM=BM=MD，AN=CN=NE，
∴AM=AN，
∴∠ABM=∠BAM，∠ACN=∠CAN，
∴∠BAM=∠CAN，
∴∠MAN=90°，
∴△AMN为等腰直角三角形；
（3）作AM⊥BH，AN⊥CE，

∵△ABD≌△ACE，
∴∠ADB=∠AEC，∠ABD=∠ACE，
∵∠ACE+∠AEC=90°，
∴∠ABD+∠AEC=90°，
∴∠BHE=90°，
∵∠AMH=∠ANH=90°，
∴∠MAN=90°，∵∠CAE=90°，
∴∠MAD=∠NAE，
在△AEN和△ADM中，

∠AEN=∠ADM AD=AE ∠DAM=∠EAN

，
∴△AEN≌△ADM（ASA），
∴AM=AN，
∴矩形AMHN为正方形，
∴∠BHA=45°．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△ABD≌△ACE是解题的关键．