Question

抛物线y=

1

2

x²-x-4与x轴交于A、B两点，P为直线y=kx+4k（k＞0）上的动点，若使△ABP为直角三角形的点P有且只有三个，则k=

 

．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：可先求得A、B的坐标，当使△ABP为直角三角形的点P有且只有三个时可知直线y=kx+4k与以AB为直径的圆相切，可求得k值．

解答：解：在抛物线y=

1

2

x²-x-4中令y=0，可得

1

2

x²-x-4=0，解得x=-2或x=4，
故A、B两点的坐标为（-2，0）和（4，0），
如图，以AB为直径画圆C，则当直线与圆相离时，满足条件的P点有两个，当直线与圆相交时，满足条件的P点有4个，
故使△ABP为直角三角形的点P有且只有三个时，直线与圆相切，
设切点为P，直线与x轴、y轴分别交与点D、E，连接CP，
在y=kx+4k中令y=0，可求得x=-4，
∴OD=4，且OC=1，
∴CD=5，在Rt△CDP中，PC=3，可求得PD=4，
又∵∠PDO=∠PDO，∠POD=∠DPC，
∴△EDO∽△CDP，
∴

OD

PD

=

PC

OE

，即

4

4

=

5

OE

，
解得OE=5，即E点坐标为（0，4），
∴4k=4，
解得k=1．
故答案为：1．

点评：本题主要考查函数与坐标轴的交点，确定出满足条件的直线所在的位置是解题的关键，注意相似三角形的判定和性质的利用．