Question

如图，△ABC中，AH是高，已知△ABC的面积为6，且BC²=2AH²+BH²+HC²，
（1）试判断△ABC形状，说明理由
（2）若HC²-BH²=7，求△ABC各边长．

Answer 1

考点：勾股定理的逆定理,勾股定理

专题：

分析：（1）先由三角形的高的定义得出∠AHB=∠AHC=90°，根据勾股定理得到AB²=AH²+BH²，AC²=AH²+HC²，那么AB²+AC²=2AH²+BH²+HC²，而BC²=2AH²+BH²+HC²，于是AB²+AC²=BC²，根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形；
（2）由AC²=AH²+HC²，AB²=AH²+BH²，得出AC²-AB²=HC²-BH²=7，设AC=x，AB=y，则x²-y²=7 ①，由△ABC的面积为6，得出

1

2

xy=6，即xy=12 ②，①与②联立，解方程组求出AC=4，AB=3，利用勾股定理得到BC=

AC2+AB2

=5．

解答：解：（1）∵△ABC中，AH是高，
∴∠AHB=∠AHC=90°，
∴AB²=AH²+BH²，AC²=AH²+HC²，
∴AB²+AC²=AH²+BH²+AH²+HC²=2AH²+BH²+HC²，
∵BC²=2AH²+BH²+HC²，
∴AB²+AC²=BC²，
∴△ABC是直角三角形；

（2）∵AC²=AH²+HC²，AB²=AH²+BH²，
∴AC²-AB²=AH²+HC²-AH²-BH²=HC²-BH²=7，
设AC=x，AB=y，则x²-y²=7 ①，
∵△ABC的面积为6，
∴

1

2

xy=6，即xy=12 ②，
①与②联立，解得

x=4 y=3

，或

x=-4 y=-3

（不合题意舍去），
∴AC=4，AB=3，
∴BC=

AC2+AB2

=5．

点评：本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积，二元二次方程组的解法，三角形的高的定义，等式的性质，难度适中．正确求解二元二次方程组是解决第（2）题的关键．