Question

在四边形ABCD中，AB=CD，M，N分别为BC，AD的中点，延长BA，CD，交MN的延长线分别于点E，F．求证：∠1=∠F．

Answer 1

考点：三角形中位线定理

专题：证明题

分析：连接AC，取AC的中点G，连接MG，NG，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MG=

1

2

AB，MG∥AB，NG=

1

2

CD，NG∥CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠GMN=∠1，两直线平行，同位角相等可得∠GNM=∠F，然后求出MG=NG，再根据等边对等角可得∠GMN=∠GNM，最后等量代换即可得证．

解答：证明：如图，连接AC，取AC的中点G，连接MG，NG，
∵M是BC的中点，
∴MG=

1

2

AB，MG∥AB，
∴∠GMN=∠1，
∵N是AD的中点，
∴NG=

1

2

CD，NG∥CD，
∴∠GNM=∠F，
∵AB=CD，
∴MG=NG，
∴∠GMN=∠GNM，
∴∠1=∠F．

点评：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行线的性质，等边对等角的性质，熟记各性质并作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键．