Question

1．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为线段AC上一点，连接BD，取BD中点E，连接CE，作∠CEG=∠ABC，在EG的延长线上取一点F，使∠FAC=∠CBD．

（1）如图①，求证：∠FAB=∠CGE．
（2）在（1）的条件下，如图②，在线段AB上取一点H，且BH=3AH，连接HF，并延长与BC的延长线交于点M，请你探究HF与FM之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）由直角三角形斜边上的中线性质得出CE=$\frac{1}{2}$BD=BE=DE，得出∠EBC=∠ECB=∠FAC，再证出∠CGE=∠ECB+∠CAB，即可得出结论；
（2）延长AF交BC的延长线于点T，延长BD交AT于N，连接NC、FC，先证出∠ANB=∠BCD=90°，再证明△TNC∽△TBA，得出∠TNC=∠CBA=∠CGE，证出N、F、E、C四点共圆，得出∠ENF=∠ECF=90°，证出FA=FC=FT，过T作TQ∥AB，交MH于点Q，则QT=AH=$\frac{1}{3}$BH，得出MQ=$\frac{1}{3}$MH，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵∠ACB=90°，E是BD的中点，
∴CE=$\frac{1}{2}$BD=BE=DE，
∴∠EBC=∠ECB=∠FAC，
∵∠ECD=90°-ECB，∠CEG=∠ABC=90°-∠CAB，
∴在△CGE中，∠CGE=180°-∠ECD-∠CEG=∠ECB+∠CAB，
又∵∠FAB=∠FAC+∠CAB，
∴∠FAB=∠CGE；
（2）解：FM=2FH；理由如下：
延长AF交BC的延长线于点T，延长BD交AT于N，如图所示：
在△AND和△BCD中，∵∠1=∠2，∠NDA=∠CDB，
∴∠ANB=∠BCD=90°，即BN⊥AT，
连接NC、FC，
在Rt△TNB中，sin∠1=$\frac{TN}{TB}$，
在Rt△TCA中，sin∠2=$\frac{TC}{TA}$，
∴$\frac{TN}{TB}=\frac{TC}{TA}$，
∵∠NTC=∠BTA，
∴△TNC∽△TBA，
∴∠TNC=∠CBA=∠CGE，
∵∠TNC+∠CTE=90°，
∴四边形NCEF中，∠CEG+∠CNF=180°，
∴N、F、E、C四点共圆，
∴∠ENF=∠ECF=90°，
∴∠ACF=∠3=∠1=∠2，
∴FA=FC，
∵∠ATC+∠2=90°，∠TCF+∠ACF=90°，
∴∠ATC=∠TCF，
∴FT=FC=FA，
过T作TQ∥AB，交MH于点Q，
则QT=AH，
∴QT=AH=$\frac{1}{3}$BH，
∴MQ=$\frac{1}{3}$MH，
∴FM=2FH．

点评 本题考查了直角三角形斜边上的中线性质、三角函数、相似三角形的判定与性质、四点共圆、等腰三角形的判定等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）中，需要作辅助线证明三角形相似、四点共圆、等腰三角形才能得出结论．