Question

【题目】定义：如图1，点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股点．

（1）已知点M、N是线段AB的勾股点，若AM=1，MN=2，求BN的长；

（2）如图2，点P（a，b）是反比例函数y=（x＞0）上的动点，直线y=﹣x+2与坐标轴分别交于A、B两点，过点P分别向x、y轴作垂线，垂足为C、D，且交线段AB于E、F．证明：E、F是线段AB的勾股点；

（3）如图3，已知一次函数y=﹣x+3与坐标轴交于A、B两点，与二次函数y=x2﹣4x+m交于C、D两点，若C、D是线段AB的勾股点，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）见解析；（3）.

【解析】

（1）根据勾股点的定理，即可求出BN的长度；

（2）利用一次函数图象上点的坐标特征结合反比例函数图象上点的坐标特征，找出点A、B、E、F的坐标，利用两点间的距离公式可求出BF、EF、AE的长度，由BF2+AE2=EF2即可证出E、F是线段AB的勾股点；

（3）利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点A、B的坐标，将一次函数解析式代入二次函数解析式中利用解一元二次方程可得出点C、D的横坐标，进而可得出AC、CD、BD的长度，结合C、D是线段AB的勾股点，即可得出关于m的一元二次方程，解之经检验后即可得出结论．

解：（1）∵点M、N是线段AB的勾股点，

∴BN==或BN==，

∴BN的长为或．

（2）∵点P（a，b）是反比例函数y=（x＞0）上的动点，

∴b=．

∵直线y=﹣x+2与坐标轴分别交于A、B两点，

∴点B的坐标为（0，2），点A的坐标为（2，0）；

当x=a时，y=﹣x+2=2﹣a，

∴点E的坐标为（a，2﹣a）；

当y=时，有﹣x+2=，

解得：x=2﹣，

∴点F的坐标为（2﹣，）．

∴BF==（2﹣），EF==|2﹣a﹣|，AE==（2﹣a）．

∵BF2+AE2=16+2a2﹣8a+﹣=EF2，

∴以BF、AE、EF为边的三角形是一个直角三角形，

∴E、F是线段AB的勾股点．

（3）∵一次函数y=﹣x+3与坐标轴交于A、B两点，

∴点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（3，0）．

将y=﹣x+3代入y=x2﹣4x+m中，整理得：x2﹣3x+m﹣3=0，

解得：xC=，xD=，

∴AC=（xC﹣0）=，CD=（xD﹣xC）=，BD=（2﹣xD）=．

∵C、D是线段AB的勾股点，

∴AC2=CD2+BD2或CD2=AC2+BD2，即15﹣2m﹣3=42﹣8m+11﹣2m﹣或42﹣8m=11﹣2m﹣+15﹣2m﹣3，

整理得：4m2﹣37m+85=0或m2﹣4m﹣5=0，

解得：m1=，m2=5，m3=﹣1（不合题意，舍去）．

当m=5时，BD==0，

∴m=5不合题意，舍去，

∴m的值为．